开拓思维的数学考题：2013年理数全国卷B题24

2013年理数全国卷B题24

（24）（本小题满分10分）选修4-5∶不等式选讲
设 $a，b，c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$ . 证明∶
（I） $ab+bc +ac \leqslant \dfrac{1}{3}$
（Ⅱ） $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant 1$

【解答问题1】

因为 $a，b，c$ 均为正数，所以

$a^2+b^2 \geqslant 2ab$

$b^2+c^2 \geqslant 2bc$

$a^2+c^2 \geqslant 2ac$

以上三式相加可得：

$2(a^2+b^2+c^2) \geqslant 2(ab+bc+ac)$

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ac$

$a^2+b^2+c^2 + 2ab + 2bc +2ac \geqslant 3(ab+bc+ac)$

又 ∵ $a+b+c=1$ ，∴ $1 \geqslant 3(ab+bc+ac)$

∴ $ab+bc +ac \leqslant \dfrac{1}{3}$

【解答问题1】

因为 $a，b，c$ 均为正数，所以

$\dfrac{a^2}{b}+b \geqslant 2a$

$\dfrac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$

$\dfrac{c^2}{a}+a \geqslant 2c$

以上三式相加，可得：

$\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} + (a+b+c) \geqslant 2(a+b+c)$

$\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant (a+b+c)$

∵ $a+b+c=1$

∴ $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant 1$

【提炼与提高】

以上推导过程用到了不等式的性质和基本不等式，并不高深。然而，对于多数学生来说，并不容易自己想到。

在看过答案后会有一种很惊讶的感觉： “哇！原来如此！”。

类似这样的习题，对于开拓学生思维大有好处。这样的好题，最好能在高一就接触，等到高三就迟了。

最后编辑于：2022.04.19 10:45:12

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