立体几何中的探索问题

【高考地位】
探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．

方法一直接法

用直接法解立体几何中的探索问题

使用情景：立体几何中的探索问题
解题步骤：

第一步首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；
第二步然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；
第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果
要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.
例1．如图甲， $\odot O$ 的直径 $AB=2$ ，圆上两点 $C$ 、 $D$ 在直径 $AB$ 的两侧，使 $\angle CAB =\dfrac{\pi}{4}$ ， $\angle DAB =\dfrac{\pi}{3}$ ．沿直径 $AB$ 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， $F$ 为 $BC$ 的中点， $E$ 为 $AO$ 的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求证： $CB \perp DE$ ；
（2）在 $BD$ 弧上是否存在一点 $G$ ，使得 $FG \parallel$ 平面 $ACD$ ？若存在，试确定点 $G$ 的位置；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）在 $\triangle AOD$ 中， $\because \angle OAD=60^{\circ}$ ， $OA=OD$ ，

$\therefore \triangle AOD$ 为正三角形，

又 $\because E$ 为 $OA$ 的中点，

$\therefore DE \perp AO$ ，

$\because$ 两个半圆所在平面 $ACB$ 与平面 $ADB$ 互相垂直且其交线为 $AB$ ，

$\therefore DE \perp$ 平面 $ABC$

$\therefore CD \perp DE$

（2）存在， $G$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，

证明如下：

连接 $OG$ ， $OF$ ， $FG$ ， $\therefore OG \perp BD$

$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径， $\therefore AD \perp BD$

$\therefore OG \parallel AD$

$\because OG \not \subset$ 平面 $ACD$ ， $AD \subset$ 平面 $ACD$ ，

$\therefore OG \parallel$ 平面 $ACD$

在 $\triangle ABC$ 中， $O$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $BC$ 的中点，

$\therefore OF \parallel AC$ ， $\because OF \not \subset$ 平面 $ACD$ ，

$\therefore OF \parallel$ 平面 $ACD$

$\because OG \cap OF =O$

$\therefore$ 平面 $OFG \parallel$ 平面 $ACD$

又 $FG \subset$ 平面 $OFG$

$\therefore FG \parallel$ 平面 $ACD$ .

【总结】

本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：

⑴通过各种探索尝试给出条件;

⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性．

方法二空间向量法

用空间向量法解立体几何中的探索问题

使用情景：立体几何中的探索问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；
第二步然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；
第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果
要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.
【例】如图, 已知矩形 $ABCD$ 所在平面垂直于直角梯形 $ABPE$ 所在平面于直线 $AB$ ，且 $AB=BP=2$ ， $AD=AE=1$ ， $AE\perp AB$ ，且 $AE \parallel BP$ .

（Ⅰ）设点 $M$ 为棱 $PD$ 中点，求证： $EM \parallel$ 平面 $ABCD$ ；
（Ⅱ）线段 $PD$ 上是否存在一点 $N$ ，使得直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值等于 $\dfrac{2}{5}$ ？若存在，试确定点 $N$ 的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】：

（Ⅰ）证明（方法一）：

由已知，平面 $ABCD \perp$ 平面 $ABEP$ ，且 $BC \perp AB$ ，则 $BC \perp$ 平面 $ABEP$

所以 $BA$ ， $BP$ ， $BC$ 两两垂直

故以 $B$ 为原点， $\overrightarrow{BA}$ 、 $\overrightarrow{BP}$ 、 $\overrightarrow{BC}$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $P(0,2,0)$ ， $D(2,0,1)$ ， $M(1,1,\dfrac{1}{2})$ ， $E(2,1,0)$ ， $C(0,0,1)$ ，

所以 $\overrightarrow{EM}=(-1,0,\dfrac{1}{2})$

易知平面 $ABCD$ 的一个法向量等于 $\vec{n}=(0,1,0)$ ，

$\therefore \overrightarrow{EM} \cdot \vec{n}=(-1,0,\dfrac{1}{2}) \cdot (0,1,0)=0$

所以 $\overrightarrow{EM} \perp \vec{n}$

又 $EM \not \subset$ 平面 $ABCD$

所以 $EM \parallel$ 平面 $ABCD$

方法二：

由三视图知， $BA$ ， $BP$ ， $BC$ 两两垂直．连结 $AC$ ， $BD$ 其交点记为 $O$ ，连结 $MO$ ， $EM$ ．

因为四边形 $ABCD$ 为矩形，所以 $O$ 为 $BD$ 中点．

因为 $M$ 为 $PD$ 中点，

所以 $OM∥PB$ ，且 $OM=\dfrac{1}{2}PB$ ．
又因为 $AE∥PB$ ，且 $AE=\dfrac{1}{2}PB$ ，

所以 $AE∥OM$ ，且 $AE=OM$ ．

所以四边形 $AEMO$ 是平行四边形，

所以 $EM∥AO$ ，因为 $EM \not \subset$ 平面 $ABCD$ ， $AO \subset$ 平面 $ABCD$ ，

所以 $EM \parallel$ 平面 $ABCD$ ．

（Ⅱ）当点 $N$ 与 $D$ 重合时，直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{2}{5}$ ，理由如下：

因为 $\overrightarrow{PD}=(2,-2,1)$ ， $\overrightarrow{CD}=(2,0,0)$ ，设平面 $PCD$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$ ，

由 $\begin{cases}\vec{n_1}\cdot \overrightarrow{PD}=0 \\ \vec{n_1} \cdot \overrightarrow{CD}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}2x_1-2y_1+z_1=0 \\ 2x_1=0\end{cases}$ ，

取 $y_1=1$ 得平面 $PCD$ 的法向量 $\vec{n_1}=(0,1,2)$ ，

假设线段 $PD$ 上存在一点 $N$ ，使得直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{2}{5}$ .

设 $\overrightarrow{PN}=\lambda \overrightarrow{PD}(0\leqslant \lambda \leqslant 1)$ ，则

$\overrightarrow{PN}=\lambda(2,-2,1)=(2\lambda,-2\lambda,\lambda)$ ， $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN}=(2\lambda,2-2\lambda,\lambda)$

$\sin \alpha=|\cos<\overrightarrow{BN},\vec{n_1}>|=\dfrac{|\overrightarrow{BN} \cdot \vec{n_1}|}{|\overrightarrow{BN}|\cdot|\vec{n_1}|}=\dfrac{2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{(2\lambda)^2+(2-2\lambda)^2+\lambda^2}}=\dfrac{2}{5}$ .

所以 $9\lambda ^2-8\lambda-1=0$ ，解得 $\lambda=1$ 或 $\lambda=-\dfrac{1}{9}$ （舍去），

因此，线段 $PD$ 上存在一点 $N$ ，当 $N$ 点与 $D$ 点重合时，直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{2}{5}$ .

【总结】

利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：

（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；

（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；

（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系．

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