在对比练习中发展数学核心素养 —— 最大公因数与最小公倍数练习课教学反思
福州市中山小学 陈芬
以生为本，教思相随。在完成最大公因数和最小公倍数知识的教学后，学生对于求两个数最大公因数或最小公倍数掌握良好。然而，在后续实际问题的练习中，部分学生暴露出将 “最小公倍数” 与 “最大公因数” 混淆的问题，面对实际问题时不知如何下手，难以将数学知识与生活情境有效结合。教材在编排这部分内容时，先引入概念和求法，进而引导学生运用这些知识解决实际问题，旨在让学生在应用中体会最大公因数和最小公倍数的现实意义。但在实际教学中，学生在解决问题过程中常将二者混淆，这表明学生对概念的迁移应用能力不足。基于此，在新课教学结束后，安排一节对比练习课显得尤为必要。
一、例题回顾对比，培养数学抽象与推理意识
在练习课上，通过回顾最大公因数和最小公倍数的典型例题，引导学生深入思考二者的区别，并探究在实际问题中如何准确判断运用公因数还是公倍数的知识。
最大公因数例3：小亮家储藏室的长方形地面长 16dm，宽 12dm。若用边长为整分米数的正方形地砖铺满地面（地砖必须整块使用），可选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
最小公倍数例3：一种长方形地砖长 3dm，宽 2dm。若用这种地砖铺一个正方形（地砖必须整块使用），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
提出对比问题：
1. 这两道例题有什么区别？
2. 在解决实际问题时，如何判断是应用公因数还是公倍数的知识解决？
学生围绕问题展开小组交流、回顾反思，随后进行全班交流。学生们积极分享自己的观点，如有的学生指出，从问题的关键词入手，“最多、最大、分完、铺满” 这类表述往往指向最大公因数问题；“最小、最少、不浪费、整块” 则多与最小公倍数问题相关。还有学生从问题情境分析，认为在大面积中铺方砖或大图形中剪小正方形的情境，通常涉及公因数知识；而小长方体砖拼大正方形地且要求铺满的情况，多应用公倍数知识。在这一过程中，学生通过对具体问题情境的分析、归纳，将实际问题抽象为数学模型，培养数学抽象素养。同时，在判断和推理应用何种知识解决问题的过程中，逻辑推意识养也得到了有效提升。
二、练习辨析巩固，提升运算能力与应用意识
1.填空题
（1）两个连续自然数的和是 15，这两个数的最小公倍数是（ ）。
（2）把一张长 20 厘米、宽 15 厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁（ ）个。
学生独立完成后，挑人反馈。
2.选择题
（1）两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，这两个数可能是（ ）。
A. 6 和 36 B. 12 和 18 C. A 和 B 都有可能
（2）五年级学生参加植树活动，人数在 30 和 50 人之间，如果分成 3 人一组，4 人一组，6 人一组或 8 人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有（ ）人。
A.24 B. 36 C. 48
（3）把两根长度分别为 24 分米和 30 分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是（ ）分米。 A. 3 B. 6 C. 12
学生独立完成选择题后反馈。从答题情况来看，部分题目存在一定错误率。以下是选择题反馈数据。
例如，在 “两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，这两个数可能是” 这道题中，准确率为 85%，有 8 人选 A，B 和 D 没人选，这反映出少部分学生对最小公倍数的理解局限于倍数关系的特殊情况，对一般关系的两个数的最小公倍数判断能力不足。
在 “五年级学生参加植树活动” 这道题中，选 A 的学生因未关注 “人数在 30 和 50 人之间” 这一条件，求出 3、4、6 和 8 的最小公倍数后未进行进一步运算。通过对这些题目的练习和分析，学生在巩固最大公因数和最小公倍数运算方法的同时，也逐渐养成认真审题、严谨思考的习惯，数学运算素养得以提升。并且，在解决这些与生活实际相关的问题过程中，学生的应用意识不断增强，学会从数学的角度看待生活中的问题，尝试运用所学知识解决问题。
3.解决问题
（1)学校要在长 72 米、宽 54 米的操场四周插彩旗，要求相邻两面彩旗的距离相等且最大，一共需要多少面彩旗？学生独立完成后，展示 三位学生的作品，让其他学生进行核对选择。
从数据反馈看，学生对正确做法的认可度较高。在此过程中，引导学生分析错误做法，并让学生在课堂本上画出示意图，进一步明确在求出最大公因数之后，该数据在具体情境中的实际含义。这个最大公因数是什么意思？是不是就是最后所求的问题？本题中求出的 18 是相邻两面彩旗距离相等且最大时的距离18米，而不是最后求一共需要多少面彩旗？而要求彩旗数量还需结合植树问题的知识。学生在实际应用公因数或公倍数知识解决实际问题的过程中，困难之处在于求出最大公因数或最小公倍数之后不理解这个数据在具体情境中的实际含义，不知道怎么应用这个求出的数据。因此还需要结合具体问题情境引导学生辨析，让学生深刻理解数学知识在实际问题中的应用，明白数学运算结果与实际问题答案之间的联系，进一步提升数学运算能力，培养应用意识。
（2）甲、乙、丙三人每隔不同天数去一次图书馆，甲 3 天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去一次。有一次三人恰好在同一天去的图书馆。学生提出 “至少再过多少天他们又在同一天去图书馆？” 的问题，并独立完成解答。通过求 3、4 和 5 的最小公倍数得出至少再过 60 天他们再次同一天去图书馆。这一练习不仅强化了学生对最小公倍数的运算能力，还让学生学会根据实际情境提出数学问题，用数学思维分析和解决问题，提高了应用意识和实践能力。
教材编排最大公因数、最小公倍数知识的初衷是让学生在解决问题中加深对概念的理解，体会数学在生活中的应用。通过多样化的解决问题形式，借助数形结合的方法，将抽象的数学思维可视化，更有利于学生理解和掌握知识。在今后的教学中，应持续关注学生在数学核心素养各方面的发展，不断反思、调整教学策略，促进学生对数学知识的灵活应用，培养学生的应用意识和创新思维，实现教学相长的目标。
