放射性和核的稳定性

放射性和核的稳定性

放射性衰变的基本规律

放射性衰变一般现象

  • \alpha射线是高速运动的氦原子核组成的。电离作用大，贯穿作用小。
  • \beta射线是高速运动的电子流。电离作用较小，贯穿本领较大。
  • \gamma实现是波长很短的电磁波。电离作用小，贯穿本领大。

用下式表示\alpha衰变：
^A_ZX\to ^{A-4}_{Z-2}Y+^{4}_2He\tag{1}
用下式表示\beta衰变：

  • \beta^-衰变：^A_ZX\to ^A_{Z+1}Y+e^-\tag{2}
  • \beta^+衰变：^A_ZX\to ^A_{Z-1}Y+e^+\tag{3}
  • 轨道电子俘获：^A_ZX+e^-\to ^A_{Z-1}Y\tag{4}

\gamma衰变为原子核发生\gamma跃迁发出不带电的\gamma光子。

放射性衰变的指数衰减规律

原子核的衰变过程如式(5)所示：
N=N_0e^{-\lambda t}\tag{5}
其中\lambda为衰变常量，N_0为最初时刻的原子核数目。
推导得到一系列结果：

  • 放射性活度：
    A=\lambda N\tag{6}
  • 平均寿命：
    \tau=\frac{1}{\lambda}\tag{7}
  • 半衰期：
    t_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\tau\ln 2\tag{8}

放射性平衡

本节讨论的过程成为：
A\to B\to C
根据半衰期的不同分三种情况来讨论：

暂时平衡

当A的半衰期不是很长但是还是比B的要长的时候，在观察时间内可以看出母体放射性的变化，以及字体B在经过足够长的时间之后，将和母体的核数目建立一定的固定的比例，即此时字体B的变化将按照母体A的半衰期衰减。这叫做暂时平衡。
B的数目：
N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1(0)(e^{-\lambda_1t}-e^{{-\lambda_2t}})=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1(t)[1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}]\tag{9}
时间足够长之后，由于\lambda_1<\lambda_2，此时有：
\frac{N_2}{N_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}，\frac{A_2}{A_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\tag{10}
下图展示了放射性活度的变化：

fig13.png

其中曲线a表示子体的放射性活度，b表示母体的放射性活度，c表示两者母子体共同的放射性活度A_1+A_2。

对于多代子体的递次衰变，只要母体A_1的衰变常量\lambda_1小于各个子代的衰变常量，则当衰变时间足够长的时候，整个衰变系列也会达到暂时平衡，即各个放射体的数量之比不随时间变化，各个子体都按照母体的半衰期而衰减。

长期平衡

母体的半衰期比子体的长很多，而且在观察时间内，看不出母体放射性的变化，在相当长的时间以后，子体的数目和放射性活度达到饱和，并且子体和母体的放射性活度相等。这叫长期平衡。
N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1(0)e^{-\lambda_1t}[1-e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}]=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}N_1(t)(1-e^{-\lambda_2t})\tag{11}
当时间足够长时，
\lambda_2N_2(t)=\lambda_1N_1(t)，A_1=A_2\tag{12}
长期平衡过程中的放射性活度变化如下图所示：

fig14.png

对于多代字体衰变，时间足够长的时候，各代的活度彼此相等：
\lambda_1N_1=\lambda_2N_2=\lambda_3N_3=......\tag{13}

不平衡情况

当母体的半衰期短于字体，即\lambda_1>\lambda_2时，无法达到平衡。时间足够长时字体将按照自身的半衰期进行衰减。依旧使用递进衰减的公式：
N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}N_1(0)e^{-\lambda_2t}[1-e^{-(\lambda_1-\lambda_2)t}]\tag{14}

记忆时仅需注意保证N_2(t)大于零即可。

当时间足够长，
N_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}N_1(0)e^{-\lambda_2t}\tag{15}
放射性活度A(t)=\lambda_2N_2(t)
可见当时间足够长，母体几乎全部转换为子体，子体则按照自身的指数衰减规律衰减。因此子体间不会存在任何平衡。

放射系

递次衰变系列通称放射系。地壳中存在的一些重的放射性核素形成三个天然的放射系。它们的母体半衰期都很长，和地球年龄相近或更长，他们的成员大多具有\alpha放射性，少数具有\beta放射性，一般都伴随有\gamma辐射，但不具有\beta^+衰变或者轨道电子俘获。最终都建立起长期平衡。

放射性活度单位

衡量放射性强弱用每秒的衰变次数来衡量，单位是Ci(居里)，规定1Ci的放射源每秒产生3.7\times10^{10}次衰变，即：
\begin{aligned} &1Ci=3.7\times 10^{10}s^{-1}\\ &1mCi=3.7\times 10^{7}s^{-1}\\ &1\mu Ci=3.7\times 10^{4}s^{-1}\tag{16} \end{aligned}

除居里外，早期的文献上还用另一种放射性活度的单位“卢瑟福”(间记为Ed)，它的定义如下：
1Rd=1\times10^{6}s^{-1}\tag{17}
它和居里的关系是1mCi=37Rd。
后来规定国际单位制“贝克勒尔”为每秒产生一次衰变，符号为Bq，因此，它与“居里”和“卢瑟福”的关系如下：
\begin{aligned} &1Ci=3.7\times10^{10}Bq\\ &1Rd=1\times10^{6}Bq\tag{18} \end{aligned}

在实际应用中，会遇到比活度和射线强度这两个物理量：

  • 比活度(有时也叫做放射性比度)：指的是放射源的放射性活度与其质量之比，即单位质量放射源的放射性活度。
  • 射线强度：指的是放射源在单位时间内放出的某种射线的个数。

原子核的结合能

质能关系

一般的质能关系：
E^2=p^2c^2+m_0^2c^4=m^2c^4\tag{19}
推导得到一系列结论：

  • 动能为能量减去静止能量
    E_k=E-m_0c^2\tag{20}
  • 对于静止质量为0的光子
    E_k=E=cp\tag{21}

光子静止质量等于0，但是质量不为零，m=E/c^2

在原子物理学中，常用u来作质量单位，1u所具有的能量为：
E=mc^2=1.492418\times 10^{-10}J
用电子伏特(eV)作为能量单位：
1eV=1.60217646\times10^{-19}J
得到一些常用的关系：
\begin{aligned} &1u=931.4940MeV/c^2\\ &m_e=0.51100MeV/c^2\\ &m_ec^2=511.00keV \end{aligned}

质量亏损

实验发现，原子核的质量总是小于组成它的核子的质量和。
首先将原子(注意不是原子核！)拆分，得到质量、能量的一个关系：
M(Z,A)=m(Z,A)+Zm_e-B_e(Z)/c^2\tag{22}
其中M代表原子的质量，m代表原子核的质量，m_e代表电子的质量，B_e(Z)代表电荷数为Z的元素的电子结合能。

质子质量：m_p，中子质量：m_n

一般忽略电子结合能，于是，以\alpha粒子为例，原子核与独立核子之间的质量差为：
\begin{aligned} \Delta m(^4He)&=(2m_p+2m_n)-m(^4He)\\ &=2M(^1H)+2m_n-M(^4He)\\ &=0.030377u \end{aligned}

上面第一行到第二行是在质子和氦核上面同时加了两个电子，电子的影响相互抵消。

组成某一原子核的核子的质量和与核子的质量之差为原子核的质量亏损，即：
\Delta M(Z,A)=ZM(^1H)+(Z-A)m_n-M(Z,A)\tag{23}
为了方便，在一些表中给出的并不是元素原子质量，而是列出了质量过剩，以u为单位，即：
\Delta(Z,A)=[M(Z,A)-A\times1]c^2\tag{24}

原子核的结合能

结合能就是质量亏损所对应的能量：
B(Z,A)=\Delta M(Z,A)c^2=[ZM(^1H)+(Z-A)m_n-M(Z,A)]c^2\tag{25}
用质量过剩来表示的话就是：
B(Z,A)=Z\Delta(^1H)+(A-Z)\Delta(n)-\Delta(Z,A)\tag{26}
原子核平均每个核子的结合能称为比结合能：
\varepsilon=B/A\tag{27}

比结合能曲线

fig15.png

最后一个核子的结合能

原子核最后一个核子结合能的大小，反映了这种原子核相对临近的那些原子核的稳定程度。用S来表示最后一个核子的结合能。则最后一个中子的结合能为：

\begin{aligned} &S_n(Z,A)=[M(Z,A-1)+m_n-M(Z,A)]c^2\\ &=\Delta(Z,A-1)+\Delta(n)-\Delta(Z,A)\\ &=B(Z,A)-B(Z,A-1) \end{aligned}
同理最后一个质子的结合能为：
\begin{aligned} S_p(Z,A)&=[M(Z-1,A-1)+M(^1H)-M(Z,A)]c^2\\ &=\Delta(Z-1,A-1)+\Delta(^1H)-\Delta(Z,A)\\ &=B(Z,A)-B(Z-1,A-1) \end{aligned}

一般只有中子写为m，其他的基本上都是M

原子核稳定性的经验规律

\beta稳定线

Z=\frac{A}{1.98+0.0155A^{2/3}}\tag{29}
原子核中的质子和中子有对称相处的趋势，中子数等于质子数时更稳定。

核子数的奇偶

fig16.png

重核的不稳定性

重核比结合能较小，更加不稳定。

原子核的液滴模型

将原子核看做是带电的液滴，根据液滴模型，原子核的结合能主要包括体积能B_V、表面能B_S和库伦能B_C三项。

  • 体积能与体积成正比，于是与核子数A成正比：
    B_V=a_VA\tag{30}
  • 表面能与表面积成正比，于是：
    B_S=-a_SA^{2/3}\tag{31}
  • 对于球形核，假设质子均匀分布，库伦能为：
    B_C=-a_CZ^2A^{-1/3}\tag{32}

在结合能公式中，除去以上三项，应该还要反映原子核稳定性的经验规律：核子间有中子、质子对称相处的趋势，有一项对称能B_a;同类核子有陪对相处的趋势，有一项对能B_p

原子核结合能的半经验公式

对称能和对能

对称能可以写成：
B_a=-a_a(\frac{A}{2}-Z)^2A^{-1}\tag{33}
对能(奇偶能)：
B_p=\delta a_pA^{-1/2}\tag{34}
其中，
\delta=\begin{cases} 1，~~偶偶核\\ 0，~~奇偶核或偶奇核\\ -1，~~奇奇核 \end{cases}

结合能半经验公式

B(Z,A)=a_VA-a_SA^{2/3}-a_CZ^2A^{-1/3}-a_a(\frac{A}{2}-Z)^2A^{-1}+a_p\delta A^{-1/2}\tag{35}

考虑库伦自能时第三项中Z^2\to Z(Z-1)

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