注意到我们上一节中群的概念，一个人群上只能有一个运算。我们或者称为乘法，或者称为加法。【一般地，我们习惯把可交换群上的运算叫做加法】
因此我们引入同时存在加法和乘法两种运算的代数结构：环。
环的定义
设 
是一非空集合，在 上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为 
，一个叫乘法，记为 
。如果具有性质：
对于加法成一个交换群；
-
乘法的结合律：对所有的 
，
%20%3D%20(ab)c%3B)
-
乘法对加法的分配律：对所有的 ，
%20%3D%20ab%20%2B%20ac%2C)
a%20%3D%20ba%20%2B%20ca%3B)
那么 就称为一个环。
子环
设 
是环 的一个非空子集合。如果 对于 的两个运算也成一环，那么 称为 的一个子环。
容易看出，子集合 是子环的充分必要条件为： 对于加法是一子群并且对于乘法是封闭的。
环同构
定义 10 设 与 
是两个环，如果有一个 到 的一一对应 
，它具有性质：
%20%3D%20%5Csigma(a)%20%2B%20%5Csigma(b)%3B)
%20%3D%20%5Csigma(a)%5Csigma(b)%2C)
其中 
; 那么 就称为与 同构。具有以上性质的映射 称为一个同构映射(或简称同构)。
其中 ；那么 就称为与 同构。具有以上性质的映射 称为一个同构映射(或简称同构)。
环同态
定义 14 设 
是两个环， 是 到 的一个映射。如果对于所有的 ， 具有如下两条性质：
%20%3D%20%5Csigma(a)%5Csigma(b)%3B)
那么 就称为环 到 的一个同态映射（或简称同态），有时简记为 
。
理想
设 是一环，
是 的一个加法子群。如果对于任意 
都有
那么 
称为 的一个理想（或称双边理想）。如果 的一个加法子群 只满足 
（或 
）对于任意 ，则 称为 的一左（或右）理想。
