一、代数学结构 ：群

定义 1 设 是一非空集合。任意一个由 到 的映射就称为定义在 上的一个代数运算。

定义 2 设 是一个非空集合。如果在 上定义了一个代数运算，称为乘法，记作 (或称为加法，记作 )，而且它适合以下条件，那么 称为一个群：

1. 对于 中任意元素 有
   

2. 在 中有一个元素 ，它对 中任意元素 有
   

3. 对于 中任一元素 都存在 中一个元素 使
   

• 单位元素
  群 中具有性质 (对所有的 ) 的唯一的元素 称为群 的单位元素。显然，在通常乘法的情况下，1就是单位元素。在通常加法情况下，0就是单位元素。

• 逆元素
  对于元素 ，唯一的具有性质

的元素 称为 的逆元素，记为 。如果运算写成加法时， 的逆元素记成 ，称为 的负元素。

由唯一性，不难看出，

• 交换群【阿贝尔群】
  在群的定义中，我们没有要求群的运算适合交换律，即 。如果群 的运算适合交换律，那么群 就称为交换群或阿贝尔 (Abel) 群。在阿贝尔群中，可以证明，对于任意元素 ，任意整数 ，有

定义 3 如果群 的非空子集合 对于 的运算也成一个群，那么 称为 的子群。

陪集

设 是群 的一个子群。对于 中任一元素 ，我们称集合

为 的一个左陪集，简记为 。因为 中有单位元素，所以 。

同样，我们可以定义右陪集为

显然， 是子群 到左陪集 的一个一一对应，同样， 是子群 到右陪集 的一个一一对应。因此，每个左（右）陪集与 有一样多的元素。

定理：陪集之间的关系 设 是群 的一个子群。 的任意两个左（右）陪集或者相等或者无公共元素。群 可以表示成若干个不相交的左（右）陪集之并。

推论 1（拉格朗日 (Lagrange) 定理） 设 为一有限群， 是一个子群，于是 是 的因子。

群的同构

定义 4 设 与 是两个群。如果有一个 到 的一一对应 ，它对于所有的 有

那么就称 同构于 ，记作 。适合上式的的一一对应【双射】称为 到 的一个同构映射，或简称同构。

定理 3（凯莱 (Cayley) 定理） 任何一个群都同构于某一集合上的变换群。