2019-02-28

第一章　概率论与数理统计

概率论的基本概念

统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性。
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。

１、随机试验

  • 特点：
    • 可以在相同的条件下重复地进行
    • 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
    • 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

２、样本空间、随机事件

  • 样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
  • 随机事件：试验E的样本空间S的子集（可能有多个样本点）为E的随机事件，简称为事件
  • 基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件
  • 频率稳定性即统计规律性
  • 古典概型（等可能概型）
    • 特点：1、试验的样本空间只包含有限个元素。2、试验中每个基本事件发生的可能性相同
    • P(A) = \sum_{j = 1}^{k}P({ei_{j}}) = \frac{k}{n} = \frac{A \mbox{包含的基本事件数}}{S \mbox {中基本事件的总数}}
    • 事件推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。
  • 定义：设A,B是两个事件，且P(A)>0称P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
  • 设P(A)>0，则有P(AB) = P(B|A)P(A)称为乘法公式，可以理解为AB的交集部分。
  • 推广：设A_1,A_2,A_3,...,A_n为n个事件，n\geq 2,且P(A-1A_2...A_n)>0则有P(A_1A_2...A_n) = P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2...A_{n-2})...P(A_2|A_1)P(A_1)
  • 全概率公式和贝叶斯公式
  • 定义划分：设S为试验E的样本空间，B_1,B_2,...B_n为E的一组事件，若
    • 1、B_iB_j = \varnothing，j\neq i,j = 1,2,3...n
    • 2、B_1\bigcup B_2 \bigcup B_3...\bigcup B_n = S
  • 则称B_1,B_2,..B_n为样本空间的一个划分。
  • 全概率公式:设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B_1,B_2,...B_n为S的一个划分，且P(B_i)>0(i = 1,2,...n)则
    • P(A) = P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)
  • 贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B_1,B_2,...B_n为S的一个划分,且P(A)>0,P(B_i)>0(i = 1,2,...,n)则
    • P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j = 1}^nP(A|B_j)P(B_j)}
    • n = 2
      • P(A) = P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})
      • P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})}
  • 设A,B是两事件，如果满足等式
    • P(AB) =P(A)P(B)则称事件A,B相互独立，简称A,B独立
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