同济高等数学第七版1.9习题精讲

1.求函数 $f(x)=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+x-6}$ 的连续区间，并求极限 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x),\displaystyle \lim_{x\to-3}f(x),\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)$ .

解：函数在 $x=2,x=3$ 处不连续。

$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\to-3}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)}=-\frac{5}{8}$

$\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)=\infty$ .

2.设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，证明函数

$\phi(x)=max\{f(x),g(x)\}$ , $\psi(x)=min\{f(x),g(x)\}$ 在点 $x_0$ 处连续.

证明： $\phi(x)=max\{f(x),g(x)\}=\frac{1}{2}(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)$ , $\psi(x)=min\{f(x),g(x)\}=\frac{1}{2}(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|)$

函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，函数 $|f(x)|$ 与 $|g(x)|$ 在点 $x_0$ 处连续，和差积商都连续，所以上面的两个函数连续。

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