2013年文数全国卷B题18 2013年理数全国卷B题18

说明：文数与理数的问题1相同，都是求证线面平行.

如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点.
（I）证明∶//平面 ;

2013年理数全国卷B

【破解要点】

连接 ，记对角线 的交点为 ；

连接 ;

因为 是 中点， 是 中点，所以 是 的中位线，平行于 .

此题得破.

详情请见：2013年文数全国卷B题18

2014年文数全国卷B题18 2014年理数全国卷B题18

说明：文数与理数的第1问相同，都是求证线面平行.

如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.
（Ⅰ）证明∶ // 平面 ;

2014年理数全国卷B18

【破解攻略】

连接 ，记其交点为 ；

由矩形的性质可知： 点是 的中点；

所以， 是 的中位线；此题得破.

完整的证明过程：2014年文数全国卷B题18

基于课本题：2018年文数全国卷C题19

如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ? 说明理由.

2018年文数全国卷C

【破解攻略】

取 中点为 ；

连接 ，记 的交点为 ;

连接 ，则 , //平面 .

此题得破.

参考答案：2018年文数全国卷C题19

四面体与四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）

如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.
（I）求证∶;
（Ⅱ）若 平面 ，求二面角 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 // 平面 . 若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.

2009年理数海南卷

提示：

（1）分析以下三角形的形状特征：

（2）可以参考以下考题：2007年文数海南卷、2017年全国卷C（文数+理数）

【破解攻略】

这是一个有意思的考题，对于提升空间想象力大有好处. 这里我们只讨论问题Ⅲ，平行问题.

首先， 我们要对面前的几何模型有个较为深入的了解.

底面 是正方形；

侧面 是四个全等的等腰三角形；

是正三角形；

记 的对角线交点为 ，则直线 是整个四棱锥的对称轴；

现在，想象一下：如果有一个经过点 的平面与平面 平行（为方便起见，我们可以将此平面记作平面 ），那它与另外几个平面（四边形）是什么关系呢？

结论是：平面 与前面提到的 6个三角形平面相交；

其中，尤其要注意的是这两个：; 平面 与它们的交线平行于平面 ；

再注意到平面平面 与 垂直，则 与平面 相交所得的直线与垂直于 .

此题得破.

详情请看：2009年理数海南卷题19

四棱锥：2017年理数全国卷B题19（12分）

如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，， 是 的中点.
（1）证明∶直线 //平面 ;

2017年理数全国卷B

【破解攻略】

首先，我们对已知条件作一个盘点，发现：

是正三角形；

是一个直角梯形；如果记 的中点为 , 则 是一个正方形；

直线 //平面 ，在本题中是有待证明的结论；假如我们将其作为条件，可以推出什么结论呢？结论是：平面 平面 .

那么，根据现有条件是否可以证明这两个平面相等呢？回答是肯定的： 是 的中位线；

平面 平面 .

此题告破.

详情请看：2017年理数全国卷B题19

四棱锥：2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，
（1）证明∶直线 // 平面 ;

2017年文数全国卷B

【破解攻略】

这个文科题使用的几何模型与理科题相同，但难度较低；

由平面几何可推出：,

由线线平行可推出线面平行.

参考答案：2017年文数全国卷B题18

2016年文数全国卷C题19 2016年理数全国卷C题19

说明：文数与理数的问题1相同，都是求证线面平行.

如图，四棱锥 中， 底面 , , ， 为线段 上一点，， 为 的中点.
（I）证明 //平面 ;

2016年理数全国卷C

【破解攻略】

盘点已知条件可以看出： 是一个梯形； 是等腰三角形；

路径一：由面面平行推出线面平行

作 中点 ，连接 ；

是平行四边形；

是 的中位线；

所以，平面 平面 .

由面面平行推出线面平行： //平面 ;

路径二：由线线平行推出线面平行

作 中点 , 连接 .

是 的中位线

由平行线的传递性推出： 且 ，

所以， 是平行四边形

最后由线线平行推出线面平行： //平面 ;

详情请看：2016年理数全国卷C题19

2019年理数全国卷A题18 2019年文数全国卷A题19

说明：文数与理数的问题1相同，都是求证线面平行.

如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， 分别是 的中点.
（1）证明∶ 平面 ;

2019年理数全国卷A

【破解攻略】

盘点已知条件可以看出： 是由两个正三角形拼成的菱形.

点 是矩形 的对称中心.

过点 作直线 ，并与 交于点 .

是一个矩形，而 是中点，所以，

而 , 由平行线的传递性推出：.

此题得破.

详情请看：2019年理数全国卷A题18

四棱锥：2016年理科数学北京卷题17

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .
（Ⅰ）求证∶ 平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值;
（Ⅲ）在棱 上是否存在点 ，使得 // 平面 ？ 若存在，求 的值；若不存在，说明理由.

2016年理数北京卷题17

【破解攻略】

这是一个有特色的问题，我们可以用体积公式来破解.

// 平面

等价于： 两点到平面 的距离相等；

等价于：

参考答案：2016年理数北京卷题17

三棱柱：2020年全国卷B题20

如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， 分别为 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 .
（1）证明∶ , 且平面 平面 ;
（2）设 为 的中心. 若 // 平面 ,且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2020年全国卷B

【破解攻略】

侧面 是矩形，而 是平行四边形；

由平行的传递性，可推出 ：

参考答案：2020年全国卷B题20

【提炼与提高】

由线线平行可推出线面平行；

由线面平行可推出面面平行；

由面面平行可推出线线平行；