空间向量在立体几何中的应用（二）

向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的空间角和距离问题．在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用．

类型一空间向量法求异面直线所成的角

空间向量法求异面直线所成的角

使用情景：立体几何中异面直线所成的角问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后根据已知条件求出所求两直线的方向向量；
第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．
例1、如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $AB=4$ ， $AA_1=6$ .若 $E$ ， $F$ 分别是棱 $BB_1$ ， $CC_1$ 上的点，且 $BE=B_1E$ ， $C_1F=\dfrac{1}{3}CC_1$ ，则异面直线 $A_1E$ 与 $AF$ 所成角的余弦值为（）

A． $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

B． $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$

C． $\dfrac{\sqrt{3}}{10}$

D． $\dfrac{\sqrt{2}}{10}$
【答案】D
【解析】取BC的中点O，连接AO，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，

则 $A(2\sqrt{3},0,0)$ ， $A_1(2\sqrt{3},0,6)$ ， $E(0,2,3)$ ， $F(0,-2,4)$

$\overrightarrow{A_1E}=(-2\sqrt{3},2,-3)$ ， $\overrightarrow{AF}=(-2\sqrt{3},-2,4)$

设 $A_1E$ ， $AF$ 所成的角为 $\theta$

则 $\cos \theta=\dfrac{|\overrightarrow{A_1E}\cdot \overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{A_1E}|\cdot |\overrightarrow{AF}|}=\dfrac{4}{5\times 4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$

类型二空间向量法求直线与平面所成的角

空间向量法求直线与平面所成的角

使用情景：立体几何中直线与平面所成的角问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后根据已知条件求出所求直线的方向向量和所求平面的法向量；
第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．

例2. 如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=AA_1=3$ ， $AC \perp BC$ ，点 $M$ 在线段 $AB$ 上.
（1）若 $M$ 是 $AB$ 中点，证明： $AC_1 \parallel$ 平面 $B_1CM$ ；
（2）当 $BM=\sqrt{2}$ 时，求直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角的正弦值.

【分析】
（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行

（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.

【解析】

（I）证明：连结 $BC_1$ ，交 $B_1C$ 于 $E$ ，连结 $ME$

因为直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ ， $M$ 是AB中点，

所以侧面 $BB_1C_1C$ 为矩形，

$ME$ 为 $\triangle ABC_1$ 的中位线，所以 $ME\parallel AC_1$

因为 $ME \subset$ 平面 $B_1CM$ ， $AC_1 \not\subset$ 平面 $B_1CM$

所以 $AC_1 ∥$ 平面 $B_1CM$

（II） $\because AC\bot BC$ ， $CC_1 \bot$ 平面 $ABC$ ，故如图建立空间直角坐标系

$B_1(0,3,3)$ ， $A(3,0,0)$ ， $B(0,3,0)$ ， $C(0,0,0)$ ，

$BA=3\sqrt{2}$ ， $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}=(1,-1,0)$

$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=(0,3,0)+(1,-1,0)=(1,2,0)$

令平面 $B_1CM$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$ ，

由 $\begin{cases}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CB_1}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{CM}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}y+z=0 \\ x+2y=0\end{cases}$

设 $z=1$
所以 $\vec{n}=(2,-1,1)$ , $\overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{CA}=(3,0,0)$ ，

设直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角为 $\theta$ .

$\sin \theta=\dfrac{|\overrightarrow{C_1A_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{C_1A_1}||\vec{n}|}=\dfrac{6}{3\sqrt{4+1+1}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

故当 $BM=\sqrt{2}$ 时，直线 $C_1A_1$ 与平面 $B_1MC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.

类型三求二面角

空间向量法求平面与平面所成的角

使用情景：立体几何中平面与平面所成的角问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；
第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论．
例3、如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD⊥$ 底面 $ABCD$ ， $PD=DC$ ， $E$ 是 $PC$ 的中点，作 $EF \perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $PA \parallel$ 平面 $EDB$ ；
（2）求二面角 $F-DE-B$ 的正弦值．

【解析】

如图建立空间直角坐标系，点 $D$ 为坐标原点，设 $DC=1$

(1)证明：连结 $AC$ 交 $BD$ 于点 $G$ ，连结 $EG$

依题意得 $A(1,0,0)$ ， $P(0,0,1)$ ， $E(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ ，

因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以点 $G$ 是此正方形的中心，

故点 $G$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0)$ ，且 $\overrightarrow{PA}=(1,0,1)$ ， $\overrightarrow{EG}=(\dfrac{1}{2},0,-\dfrac{1}{2})$ ，

所以 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{EG}$ ，即 $PA \parallel EG$ ，

$EG \subset$ 平面 $EDB$ ， $PA \not\subset$ 平面 $EDB$

所以 $PA \parallel$ 平面 $EDB$ .

(2) $B(1,1,0)$ ， $\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$ ，又 $\overrightarrow{DE}=(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$

故 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{DE}=0$

$\therefore PB \perp DE$ .

由已知 $EF\perp PB$ ，且 $EF \cap DE =E$ ，所以 $PB \perp$ 平面 $EFD$

所以平面 $EFD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$ ， $\overrightarrow{DE}=(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ ， $\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$

不妨设平面 $DEB$ 的法向量为 $\vec{a}=(x,y,z)$

则 $\begin{cases}\vec{a}\cdot \overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}(y+z)=0 \\ \vec{a} \cdot \overrightarrow{DB}=x+y=0\end{cases}$

不妨取 $x=1$ ，则 $y=-1$ ， $z=1$ ，即 $\vec{a}=(1,-1,1)$

设求二面角 $F-DE-B$ 的平面角为 $\theta$

$\cos \theta=\dfrac{\vec{a} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\vec{a}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}=-\dfrac{1}{3}$

因为 $\theta \in[0,\pi]$ ，所以 $\sin \theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

二面角 $F-DE-B$ 的正弦值为 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ .

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 212,222评论 6赞 493
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,455评论 3赞 385
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 157,720评论 0赞 348
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,568评论 1赞 284
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 65,696评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 49,879评论 1赞 290
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,028评论 3赞 409
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,773评论 0赞 268
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,220评论 1赞 303
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,550评论 2赞 327
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,697评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,360评论 4赞 332
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,002评论 3赞 315
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,782评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,010评论 1赞 266
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,433评论 2赞 360
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,587评论 2赞 350

空间向量在立体几何中的应用（二）

类型一 空间向量法求异面直线所成的角

类型二 空间向量法求直线与平面所成的角

类型三 求二面角

推荐阅读更多精彩内容

类型一空间向量法求异面直线所成的角

类型二空间向量法求直线与平面所成的角

类型三求二面角