本文的目的，是帮助大家在经过一段时间的解题训练后进行回顾和总结，以提高水平，所以称为复盘。本文包括了 2007年至 2020年的 10个立体几何大题。只谈解题要点，不提供完整解答。请不要在自己进行解题练习前阅读本文，一定要在完成自己的练习后再来阅读本文。

立体几何复盘：如何证明空间的线线垂直？

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

真题实例：线线垂直

2007年文数海南卷题18

如图， 为空间四点，在 中，，等边三角形 以 为轴转动.
（Ⅰ）当平面 平面 时，求 ;
（Ⅱ）当 转动时，是否总有 ? 证明你的结论.

2007年文数海南卷

【破解要点】

注意题图中有两个等腰三角形：;

作 中点 ，根据三线合一则可得两组线线垂直关系： ；

由线线垂直推出线面垂直，再推出线线垂直，即可解决问题Ⅱ.

问题Ⅰ 是一种特殊情况：当平面 平面 时， 是直角三角形，可根据勾股定理解答.

注意：这是众多问题的题根，在高考中已经出现多次。

2017年文数全国卷C题19

如图，四面体 中， 是正三角形，
（1）证明： ；

2017年文数全国卷C

【破解要点】

注意到本题已知条件中存在两个等腰三角形：;

其问题2与 2007年文数海南卷题18其实是同一个问题。

2009年理数海南卷题19

如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.
（I）求证∶;

2009年理数海南卷

【破解要点】

如果把四棱锥 一分为二，就可以得到两个四面体. 在四面体 中， 是等腰三角形.

因此，问题1 实际是2007年文数海南卷题18的重现.

2009年文数海南卷题18

如图，在三棱 锥 中， 是等边三角形，
（Ⅰ）证明∶;

2009年文数海南卷题18

【破解要点】

如果能证明 , 问题1就回到了我们熟悉的 2007年文数海南卷题18, 而这是容易做到的：

在 中，,

∴ ,

∴

img

2004年文数全国卷C题21

三棱锥 中，侧面 与底面 垂直，
（Ⅰ）求证 ;

2004年文数全国卷C题21

【破解要点：思路一】

作 中点 ，由三线合一推出线线垂直，结合面面垂直，可推出线面垂直关系，再推出线线垂直：,

然后，可推出三角形全等和线段相等：,

应用平面几何知识，可推出：.

【破解要点：思路二】

作 中点 ， 中点 ，并连接 .

由面面垂直和线线垂直推出线面垂直和线线垂直：,

由三线合一推出线线垂直：,

由线线垂直推出线面垂直：, 再推出新的线线垂直：,

根据中位线的性质推出：.

.

2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面
（I）证明∶ ;

2014年文数全国卷A

【破解要点】

从三棱柱 中，可以拆出一个四面体 .

根据题设条件容易证明： 是等腰三角形，于是，再一次回到了：2007年文数海南卷题18

2013年文数全国卷A题19 2013年理数全国卷A题18

说明：2013年全国卷一，文数与理数的立体几何大题问题1完全相同。

如图，三棱柱 中，
（Ⅰ）证明∶ ;

2013年文数全国卷A

【破解要点】

根据题设条件容易证明： 是等腰三角形，于是，再一次回到了：2007年文数海南卷题18.

2011年文数全国卷题18 2011年理数全国卷题18

说明：2011年全国卷，理数第18题第1问与文数第18题第1问完全相同.

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 底面
（I）证明∶;

2011年文数全国卷

【破解要点】

四棱锥 中，可以拆出一个四面体 .

根据已知条件容易证明： 是直角三角形, .

底面

∵

∴ 平面

∴ .

本题的特色在于：应用平面几何知识推出线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再推出线线垂直.

题中两样存在两个等腰三角形：, 不过，却不是条件，而是结论.

注意：平行四边形 可以拆分为两个三角形，而且是我们熟悉的 的直角三角形.

2012年理数全国卷题19

如图，直三棱柱 中， 是棱 的中点.
（Ⅰ）证明∶ ;

2012年理数全国卷

【破解要点】

本题的特色在于：对于空间想象力有一定要求，这点可能会把一部分学生挡住.

从备考训练的角度来说，最好多练一些这样的题，以增加自己的究竟想象力.

为了帮助大家提高空间想象力，我们特意在此处贴了两个角度的图形.

应用平面几何知识可以推出： 是等腰直角三角形, .

然后，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直.

∵ ,

∴ 平面

又∵ 平面 ， ∴

2010年理数全国卷题18

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点.
（1）证明∶;

2010年理数全国卷

【破解要点】

欲证线线垂直，先证线面垂直；欲证线面垂直，先证线线垂直.

本题的关键在于：用平面几何知识推出 .

如下图所示, 延长 并交 于点 .

∵ 是直角三角形，点 是其斜边上的中点，

∴ ,

,

又∵ 是等腰梯形，,

∴ ,

∴ ,

∴ .

相对而言，梯形在高考中出场的频率不如平行四边形、矩形和菱形；但出场较少并不等于不考.

要想在高考数学中拿到高分，平面几何一定要过关.

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