立体几何笔记：如何证明面面垂直？

空间的垂直关系有以下三种：

线线垂直：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

线面垂直

面面垂直

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

真题实例

2015年文科数学全国卷A题18

如图，四边形 为菱形， 为 与 的交点， 平面 .

（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;

2017年文数全国卷A题18

如图，在四棱锥 中，，且

（1）证明∶平面 平面 ;

2017年文科卷A和理科卷A使用同一个模型

2012年文数全国卷题19

如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， 是棱 的中点.

（I）证明∶平面 平面 ;

2012年文科数学全国卷

2017年理数全国卷C题19

如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形，

（1）证明∶平面 平面 ;

2017年理科数学全国卷C

2019年理数全国卷C题19

图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 将其沿 折起使得 与 重合，连接 ，如图2.

（1）证明∶图2中的 四点共面，且平面 平面 ;

说明：文数与理数的第1问相同

2019年理科数学全国卷C

2018年理数全国卷A题18

如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .

（1）证明∶平面 平面;

2018年理科数学全国卷A

2016年理数全国卷A题18

如图，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形，，，且二面角 与二面角 都是

（I）证明∶平面 平面 ;

2016年理数全国卷A

2018年文数全国卷C题19

如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.

（1）证明∶平面 平面 ;

说明：文数与理数的第1问相同

2018年文数全国卷C

2010年文数全国卷题18

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高.

（1）证明∶平面 平面 ;

2010年文数全国卷

2015年理数全国卷A题18

如图，四边形 为菱形，， 是平面 同一侧的两点， 平面 ，平面,

（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;

2015年理数全国卷A