又到了该给小枝枝写东西的时间了。
可惜，时间太忙，没能认真看北师大版的课本，就以原来记忆写吧。我不是数学老师，也不教具体学习内容，而是教学法。好在经过这一阵子看似模糊的各种说法，终于可以清晰来说了。
实数这一单元，是一个人数系的继续扩充。
每一次数系扩充，都会把人的大脑扩容一大步。
小学阶段的数系扩充，是从自然数逐步扩充到分数和小数。并且每一次数系扩充都会增加新的运算。
自然数的运算是加和乘。减法和除法其实不能完全运用在自然数范围内。因为减法会产生负数、除法会产生分数。为了尽快把这四则运算推开，老师和编辑小学课本的人可谓是煞费苦心。
上了初中后，数系第二次扩充，就是扩充到有理数。同时增加的运算方式是乘方。
学到实数是数系的第三次扩充。增加的运算是开方。
实数之后，数系还要扩充，就是复数。复数包括实数和虚数。自然也会增加新的运算。复数概念会在高中稍微说一下，这是大学以后的内容。知道就行，不要去深究。可以简单理解为，实数是计算眼睛能看到的东西，看不见的东西用虚数计算。
好了，一个常识问题：自然数多还是分数多？有理数多还是无理数多？自然而然，实数多还是虚数多？
当你对实数概念或者有理数概念理解不透的话，让你找个无理数能累坏你的脑子，虽然有理数只是断点，无理数却是连线。
理解实数的概念；能分清楚有理数无理数；能理解开方运算（初中不要求会开方计算。但是要知道这是一种怎样的计算）；能计算简单的实数混合运算。这一单元，你学懂了，你的数系就被扩充了。
学习首要要学懂。这是很基础的学习要求。虽然到了八年级，已经有不少小朋友连这一步都做不到了。
学懂之后，就要进一步学习，让自己学会。
学懂了，相当于小孩认字。见了字能认识了，也知道什么意思，看了一个商店的名字也知道是卖什么的。但是还不会用。让这个小孩写店名写句子他一定是懵圈。
学会，就是把已经学懂的东西会应用。
平方根和算数平方根，学懂很简单。但是用好需要动脑子。根式运算，意思好明白，能像有理数的运算一样熟练，需要理解和计算功底。看似无法计算的根式和实数计算式，经过配项，约分、乘方、开方之后，能化简能求值。这才是学会。
一眼就能看出来这个看起来好复杂的实数其实是个什东西，这个实数分式如何简化如何变形。等你学会了实数，这些都是小儿科。
学会了实数，你的数系不仅被扩充了，而且你的新技能被解锁，从此你的数学思维就升华到实数范畴。
由于你七年级的学习习惯，你目前学习的天花板差不多就能够学会。虽然能学会，就足以让你的学习成绩可以糊弄爸妈。然而，仅仅是学透的地板。
到了八年级，仅仅学会可不够，需要再进一步学透。
学会是什么标准呢？
就是课本上所有的作业，无论是课堂作业还是课后作业；同步作业的基础题和延伸题，都能看明白，都会做。这就是学会的一个标准。强调一点：是明白这道题是怎么回事，能做这道题。即便做错了，只要方法对思路正确也算过关。会做的题一定做对，这是考试的技能，是九年级才必须掌握的能力。八年级还不用纠结这个。
学透是建立在学会之后的能力。
就是因为学会了，你的技能才被解锁。那么就可以把看似的不可能，通过摘叶去枝之后，变成你熟悉的范畴。
开始就说了，自然数的运算只有加法和乘法。减法和除法这两项运算会让只有自然数数系的小学生无所适从。但是为什么小学生都会加减乘除四则运算呢？
这是因为里面内置了条件，什么条件？
就是a-b这个计算中，内置了（a>=b）。
同样a/b，内置了（a能被b整除）。
在自然数数系中，通过加和乘的运算。其结果一定是自然数。
有理数数系中，通过加减乘除乘方运算之后，其结果一定是有理数。
自然而然，实数数系中，通过加减乘除和乘方开方运算后，一定是实数。
好懂，也好会。但是你要学透了后，才算神奇。
如果，一个实数，经过一些列运算后，最后的值是个自然数。
这是什么鬼？！数系的范畴变了！
自然数的定义是非副非零的整数。那么长那么复杂的实数，经过那么复杂的运算，怎么会变成自然数了呢？
如果没有直观印象，找出来计算器，计算0.98765的n次乘方,看看最后的结果是不是0；任何一个小数n次开平方，最后结果是不是1；
当一个高级数系，降维到一个低级数系时，就是出现了特殊情况。
比如一个实数，降维到有理数了，只有一种情况，就是无理数部分的系数成了0。
于是乎，那么复杂的一道实数计算题，经过兜兜转转，原来只是来求无理数的系数而已。还是一个简单的方程：无理数的系数=0；
我手头没有现成的题目，不过相信你的各种作业里，这样的题型会有很多。
这是学透里常见的事情，就是无中生有。
看似毫无头绪的事情，其实很简单，只要你会用了实数！
再来一例：
比较 和
的大小。
这题不给你详细做了。如果还没学到根式化简，不防等学到后再来做。
这道题不是无中生有，而是大杀四方。
你现在对数的概念是实数概念，不需要知道它是3还是5才能知道大小。而是用实数的思维来理解大小。那怕他们之间仅是毫厘之差或者光年之远，无论多么复杂，在你的思维里就是两个像3和5这样的非常直观和具体的数字。
（这题要用到平方差公式）
只有你实数概念学透之后，才能成了你的工具，然后才能大杀四方。
写的够多了，并且专业性不小。需要耐心看。看完之后，如果能理解了学透是什么意思。算你学透！
