从“源初自明性”及“逻辑自明性”的角度去理解儿童乘除法及其运算规律的建构历程

对整个学期（2021学年）的教研内容“源初自明性”和“逻辑自明性”有了一定的理解之后，再去准备四下的课程，就有一股抑制不住的兴奋。大脑快速运转，之前所经历过的一切仿佛都被串了起来。但很不幸，在执行课程的过程中，自己又再次被打败，经过一次深刻教研，我也再次认识到自己对本章观念的逻辑自明性并不是很清楚，而要将四则运算的源初自明性和逻辑自明性很好地在课堂上落实，并非易事！于是，调整、总结、与儿童共同成长，我们的故事也就此展开……

首先，乘法运算的本质含义是什么？很多人的第一反应是连加运，确实在很多人眼中，乘法就是加法的简便运算。

这其实就是此刻小贝壳们的已有经验，是我的教学起点，也是儿童认知发展的起点，但从儿童最终建构生成的观念来看，乘法毕竟是一种新的运算，从运算的形式化和未来的发展来说，倍数关系肯定更本质。所以我们的教学绝对不能仅仅停留在此，而是要带着儿童去体会更本质的运算思想。

矩阵图是我们分析乘法倍数关系的有力工具。在算式“2×3”所对应的矩阵图中，如果横着看表示的是2的3倍，而竖着看表示的是3的2倍；而算式“3×2”对用着相同的一幅矩阵图，相应的也就具有了两种含义，且和“2×3”的含义相同。所以从乘法的倍数关系上解释“2×3”与“3×2”是相同的。

那么其他的乘法算式是否也具有相同的运算规律呢？孩子们很快就列出了一组类似规律的算式，并且在矩阵图中解释其合理性。等等，在面对含有小数的乘法算式“2.5×2=2×2.5”中，我们还能在矩阵图中解释吗？总不能说一行有2.5个棋子吧？

别着急，乘法其实还可以理解成是一种“拉伸变换”，这其实更像是一种思维游戏，需要儿童在脑海中形成一根思维的弹簧，为了让这种解释更加形象，我们借助了三年级学习过的“面积模型”，在三年级的面积模型中儿童已经体会过了二维拉伸变换的神奇。将一个小正方形横向拉伸为原来的2倍，再纵向拉伸为原来的3倍；或者先横向拉伸为原来的3倍，再纵向拉伸为原来的2倍，最终形成的长方形的面积大小是一样，仅仅是将原图颠倒了一下。这里的“2”和“3”被我们称为拉伸系数。

难道只能拉伸为原来的整数倍吗？能不能拉伸2.5倍呢？孩子们已经具有的小数观念可以很好的解释2.5与这里的拉伸基准，面积单位“1”之间的关系。用相同的拉伸过程我们解释了算式“2.5×2=2×2.5”的合理性。

这样的规律是否具有普遍性呢？如果具有普遍性，我们又该如何表示这样的普遍性呢？孩子们尝试用更一般的字母表达方式来表达自己的观点。

文字语言描述：乘法交换律——两乘数互换位置，积不变。

当然我们仍然可以结合图形语言，在矩阵图中从倍数关系的角度解释其合理性——两个乘法算式对应这相同的矩阵图，相同的倍数关系。

神奇的拉伸变换也变成了孩子们解释乘法交换律的合理性——纵向或横向拉伸倍数关系的变化，并不影响最终的拉伸结果。

如果是三个乘数相乘呢？是否也像加法运算那样，可以改变运算顺序呢？乘法时候也有“结合律”呢？

还是回到矩阵图形去解释。孩子们先画出了一个“3×2”的矩阵图。

“×5”？那就表示有这样的5个“2×3”。要算这个新的矩阵图中棋子的数量，我们可以先算一个板块“2×3”有多少颗棋子，然后再×5，就表示一共有多少颗棋子。

当然，我们还可以换个角度看这幅图，如果横着看，一行不正好是“2×5”颗棋子吗？而正好有这样的3行，用“2×5”的结果再×3，也是再求棋子的总数。所以在矩阵图中解释乘法结合律是成立的。

能不能也用拉伸变换来解释乘法结合律呢？这次仅仅只有横向或纵向的拉伸已经不够用了，我们还需要加入另外的一个维度的拉伸，一个立体图形就这样被我们玩出来了。当然这个思维过程对于孩子来说是有挑战性的，但在三年级学习面积时，我们就已经在二维的基础上想象着三维的拉伸变换，学习不是一蹴而就的过程，儿童思维能力的培养，需要伴随着像种子一样逐步长大，今天埋下的种子，就已经在为高年级学习体积度量打下基础。