一、静力学公理及其常见约束

1.1 静力学引言

静力学的基本概念

• 刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体，或者说形状始终保持不变的物体，这是一种理想化的概念，当物体在力的作用下发生的变形程度很小或者对所研究问题的影响可忽略不计时，研究物体可视为刚体。研究物体是否被视为刚体，并不完全取决于物体的绝对刚度，而是研究问题角度。
• 力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。
  力的三要素：大小、方向、作用点
• 力系：由很多力在一起组成的系统，或者说一群力。静力学的研究问题一般是力系的平衡问题。
• 平衡：物体（系）相对惯性参考系（如地面）静止或做匀速直线运动的运动状态。

1.2 静力学5个公理

公理1 力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定。

力的平行四边形法则

公理2 二力平衡条件

作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。

二力平衡条件

公理3 加减平衡力系原理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

推导定理

推理1 力的可传性

作用于刚体上某点的力，可以沿着他的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用效果。

力的可传性

作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素变为大小、方向、作用线

推理2 三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个互相平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点

三力平衡交汇

公理4 作用和反作用公理

作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上。

公理5 刚化原理

针对变形体，变形体在某一力系作用下处于平衡，如此将变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

刚化原理

1.3 约束和约束反力

1.3.1 自由体与非自由体

自由物体

• 空间位置不受限制的研究对象称为自由物体（简称自由体）
• 自由体的真实运动取决于作用在该物体上的力，称之为主动力
• 例如：自由运动的气球

非自由体

• 空间位置受到限制的研究对象称为非自由物体（简称非自由体）
• 例如：被套筒套住的气球

1.3.2 约束与约束反力

约束

• 非自由体的运动（位移）所受到的限制称为约束，或者说对非自由体的位移起限制作用的物体，称之为约束。
• 例如：对气球的位移起限制作用的套筒称为气球的约束

约束力

非自由体的真实运动是两种力共同作用的结果：

• 主动力
• 约束对被约束物体的作用力，即约束力或约束反力

两类约束力

• 限制非自由体的运动：理想约束力
• 不起限制作用的力：非理想约束力，例如：套筒与气球间的摩擦力

理想约束：只考虑理想约束力的约束

1.3.3 概念总结

约束：对物体的运动起限制作用的物体
约束反力：约束对被约束物体的作用力。也可称为被动力。

• 大小——待定
• 方向——与该约束所能阻碍的位移方向相反
• 作用点——接触处
  主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。重力、风力、载荷力等。

1.4 工程中常见约束及约束力方向的确定

1 具有光滑接触表面的约束（光滑接触约束）

光滑支承接触对物体的约束力，作用在接触处，方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向约束力，用表示。（不产生切向的约束力）

光滑接触表面约束

2 由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束（柔索类约束）

柔索只能受拉力，又称张力，一般用表示。柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。皮带（链条）对轮的约束力沿轮缘的切向方向，为拉力。

柔索类约束

3 光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）

铰链：连接两构件，允许二者之间做相对转动的一种机械装置

（1）径向轴承（向心轴承）

约束特点：轴在轴承孔内，轴为被约束，轴承孔为约束
约束力：当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接触约束——法向约束力。约束作用在接触处，沿径向指向轴心。

径向轴承约束力

当外界载荷变化时，接触点会变，则约束力的大小与方向也会变。
使用两个通过轴心的正交分力表示

正交分力图

（2）光滑圆柱铰链

约束特点： 由两个各穿孔的构件加圆柱销钉组成，例如：剪刀
约束力：光滑圆柱铰链也是孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示

光滑圆柱铰链

构件1受到销钉的约束力为和，将构件2与销钉看做一个整体，受到的约束力实际上是构件1对销钉的反作用力，即和。

• 两组约束力间互为作用和反作用关系
• 两构件之间并不是直接发生互相作用的，而是通过中间构件销钉进行传递
• 一般不必分析销钉受力，而是将销钉与某个构件看做一个整体进行受力分析，若要分析销钉，必须将其单独取出进行分析，即两构件对销钉的反作用力
  
  销钉单独受力分析

（3）固定铰链支座（类似光滑圆柱铰链，其中一个构件为支座）

约束特点：由径向轴承约束与地面或机架固定而成
约束力：与圆柱铰链相同

固定铰链支座

这三种约束（径向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支座），其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称作光滑圆柱铰链，其约束力一般用两个正交分力表示，但本质上是一个力。

4 其他约束

（1）滚动支座

约束特点：在前述固定铰支架与光滑固定平面之间装有光滑滚轴而成。
约束力：构件只受到垂直于光滑面的约束力，可能是压力也可能是拉力（不存在水平方向约束力）

滚动支座简图与受力图

滚动支座在工程中有着广泛的应用，例如桥梁的一段必须设计成滚动支座约束，目的是让桥梁自由伸缩，防止由于热胀冷缩带来破坏。

（2）球支座

约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动
约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题。约束力通过接触点，并指向球心，是一个不能预先确定的空间力。可用三个正交分力表示，但本质上是一个力。

球支座

在工程中也有广泛的应用，包括换挡器、球结等，都属于球支座约束

（3）止推轴承

约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。
约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正交分力。

止推轴承

二、物体的受力分析与受力图

2.1 受力分析与受力图

受力分析步骤：

• 取所要研究物体为研究物体（分离体），画出其简图
• 画出所有主动力
• 按约束性质画出所有约束（被动）力

例一

碾子受力图

例二

AC拱作研究对象

BC拱作研究对象

整体作研究对象

所研究系统内，物体与物体未分离处相互作用的力称为内力，内力绝对禁止画在受力图上

注意：画受力图时，不一定要给出真实的受力方向，因为在实际情况下，真实的受力方向有时很难判断，给出的都是假定的受力方向，真实的方向需要根据具体的计算结果来得到。

2.2 二力构件

只在两个力作用下平衡的构件，称为二力构件；若构件为直杆或弯杆，则称为二力杆。
注意：一个构件是否为二力构件仅与他的受力有关，与他的形状无关。
二力杆（二力构件）的受力特点：两个力必定沿着两个力作用点的连线，且大小相等，方向相反。

二力构件

2.3 力学模型和力学简图

力学建模

力学建模：将实际问题抽象成力学模型的过程，对任何实际问题进行力学分析、计算时，都要将实际问题抽象成力学模型，然后对力学模型进行分析、计算。

力学建模的原则

• 抓住关键、本质因素，忽略次要因素

• 多方面进行抽象化处理
  1 非均匀材料假设成均匀
  2 结构有变形但抽象成刚体
  3 三维物体有时候处理成二维（某方向可以不考虑）
  4 复杂形状简化成简单形状
  5 载荷简化为集中力或分布力（集中力：力可视作点载荷；分布力：力作用在构件的一部分或全部面）
  6 有很多约束简化为理想约束

  
  
  力学建模

力学简图

将力学模型用简单明了的图形来表示，这类图形叫做力学简图。

• 一个力学简图可能对应多种实际结构
• 一个实际结构可能简化成不同的力学模型