一文搞懂什么是随机事件和随机变量

前言

随机事件的随机变量的概念往往是大多数概率论与数理统计教材第一章要介绍的内容，但时间一久还是容易忘记，有时会影响后续问题的理解，因而在此记录一下，方便自己回忆，也把它分享给想了解这部分知识的小伙伴们。

正文

试验：试验是对自然和各种社会现象进行的观察和各种科学实验。

随机试验：随机实验是对随机现象进行的观察和科学实验。随机试验有以下特点[1]：

        （1）可以在相同的条件下重复的进行；

        （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

        （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

常见的随机试验，如抛掷一枚硬币，落地时是正面还是反面？从不透明的箱子里拿出一个小球，将是什么颜色的？随机试验随处可见，在此不一一列举。

随机事件

随机事件就是在随机试验中可能发生，也可能不发生的事情，简称事件。在概率统计中常用大写字母A.B,C,...或A_1,A_2,A_3,...表示。其中，有两个比较特殊的事件，分别是必然事件和不可能事件。

必然事件：随机试验中必定会发生的事件，记为\Omega ；

不可能事件：随机试验中必定不会发生的事件，记为\emptyset。

基本事件：（也称为原子事件或简单事件）是一个仅在样本空间中单个结果的事件，是在试验中可直接观察到的、最基本的不能再分解的结果。

复合事件：由若干基本事件组合而成的事件。

随机事件举例：

    在掷色子的随机试验中，

        A_i = \{掷得点数为i\}, i=1,2,3,4,5,6 (基本事件)

        A=\{ 掷得点数为偶数\} （复合事件）

        \Omega =\{ 掷得点数小于等于6\} （必然事件）

        \emptyset = \{掷得点数为7\} （不可能事件）

样本空间：试验中的每一个基本事件，可以用含有一个元素\omega 的集合（单点集）表示。

基本事件可以用单点集表示

复合事件由其包含的基本事件对应单点集中的元素组成的集合表示。

所有基本事件对应单点集中的元素组成的集合构成了试验的样本空间（\Omega ），样本空间中的元素称为样本点（\omega ）。

任意一次试验，必然有且仅有一个基本事件发生。假设发生的基本事件对应的样本点为\omega ，对于任意事件A，若\omega \in A，则称事件A发生，否则没发生。

样本空间\Omega 对应的事件是必然事件，空集对应的是不可能事件。

随机变量

为了运用数学手段研究随机现象，需将所有的元素（样本点）数量化。

                                                           X（\omega ）\Rightarrow R^n

X本质是一个映射，它将样本空间映射到数字空间。

如：X：掷得色子的点数，X实际是一个映射，将“掷得点数为i”（样本点）映射到i(数字)。

为什么映射可以有取值呢？（以下为个人理解，如有纰漏，欢迎大家批评指正。）

例如，事件A=\{掷得色子的点数为1\}，P(A)是事件A发生的概率；

X：掷得色子的点数，X是一个映射，而X(\omega )是一个随机变量。

P(X=1)实际是P(X(\omega )=1)为了方便进行的简写形式。

计算P(X=x)，实际是计算当X(\omega )取值为x时，对应的所有样本点组成的事件\{ \omega_1,...\}发生的概率。

参考资料

[1] 维基百科编者. 随机试验[G/OL]. 维基百科, 2019(20190529)[2019-05-29]. https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%AF%95%E9%AA%8C&oldid=54608166.

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