【初中数学】一题多思路 1801 一道几何证明题

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

适用阶段：初二下学期，学完平行四边形。

题目

$如图，在\triangle ABC, \triangle ADE 中， \angle BCA = \angle DEA = 90 ^\circ, \\ A,C,E 在一条直线上，且BC=DE，连接BD， \\ M，N分别为AB， CE的中点，连接MN。\\ 求证： AD= 2MN$

q1_1.png

思路分析

这个题有多种思路，非常灵活。
这里做一下如何想到这些思路的分析。

要证明AD= 2MN，
那么有两种大方向

把MN放大成两倍，证明放大两倍后的和AD相等
把AD缩小成一半，证明缩小一半后的和MN相等

结合题目，出现两次中点。
遇到中点，联想到中位线以及中线。

那么到这里，辅助线应该就好思考了。

三种思路

把MN作为中位线（对应的边为其两倍）
找到AD对应的中位线（该中位线为AD的一半）
画AD边上的中线（直角三角形斜边上中线等于斜边一半）

具体如下图所示

q1_6.jpg

下来逐一证明

思路一

q1_3.png

$\begin{aligned} & 延长AE至F，使EF=AC \\ & \because N为CE中点，\therefore NC = NE \\ & \therefore AC + CN = EF + NE, 即AN=NF \\ & \because M为AB中点，N为AF中点， \\ & \therefore MN为 \triangle ABF中位线, MN = \frac 1 2 BF \\ & AC + CE = EF + CE, 即 AE = CF \\ & \begin{cases} AE = CF \\ \angle DEA = \angle BCF \\ DE = BC \\ \end{cases} \\ & \therefore \triangle ADE \cong \triangle FBC \\ & \therefore AD = BF = 2MN \end{aligned}$

思路二

q1_4.jpg

$\begin{aligned} & 取BD中点G，连接MG，MC \\ & M为AB中点，MG为\triangle ABD 中位线， MG = \frac 1 2 AD \\ & \because \angle BCA = \angle DEA = 90 ^\circ, \therefore BC \parallel DE \\ & 又BC= DE， \therefore BCED 是平行四边形 \\ & \therefore BD \parallel CE , \angle CBD = \angle BCA = 90 ^ \circ \\ & G， N分别为BD， CE中点, \because BD = CE, \therefore BG = CN \\ & \because \angle ACB = 90 ^ \circ, CM为斜边AB的中线, \therefore CM = \frac 1 2 AB = MB \\ & \angle MCB = \angle MBC, 又\angle BCE = \angle CBD, \therefore \angle MCN = \angle MBG \\ & \begin{cases} MC = MB \\ \angle MCN = \angle MBG \quad \Rightarrow \quad \therefore \triangle MCN = \triangle MBG \\ CN = BG \end{cases} \\ & MN = MG = \frac 1 2 AD, 即AD = 2 MN \end{aligned}$

思路三

q1_5.jpg

$\begin{aligned} & 取AD中点O，连接MO，OE \\ & M为AB中点，\therefore MO 为\triangle ABD 中位线 \\ & MO = \frac 1 2 BD, MO \parallel BD \\ & \because \angle BCA = \angle DEA = 90 ^\circ, \therefore BC \parallel DE \\ & \because BC = DE, \therefore BCED为平行四边形 \\ & BD = CE, BD \parallel CE \\ & N为CE中点，\therefore NE = \frac 1 2 CE = \frac 1 2 BD = MO \\ & \because MO \parallel BD, NE \parallel BD, \therefore MO \parallel NE \\ & \therefore MOEN 为平行四边形 ,\therefore MN = OE \\ & \angle AED = 90 ^\circ , EO 为斜边AD中线 \\ & \therefore AD = 2 OE = 2 MN \\ \end{aligned}$

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