数学分析笔记

数学分析笔记

  1. （20分）（1）（10分）对任意 n\in \mathbb{N^*}，证明：x^n+nx-1=0 有唯一的正实根 x_n。

    （2）（10分）证明：\lim_{n\to \infty}x_n 存在，并求其值。

  2. （20分）设 R(x)=\frac{1}{q}（x=\frac{p}{q}，p，q 互质，q>0），0（x\notin \mathbb{Q}）。

    （1）（5分）证明：R(x) 在所有有理点不连续。

    （2）（15分）证明：R(x) 在所有无理点连续。

  3. （20分）证明：多项式 P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}((x^2-1)^n)^{(n)} 在 (-1,1) 上有 n 个零点，其中 ((x^2-1)^n)^{(n)} 表示函数 (x^2-1)^n 的 n 阶导数。

  4. （20分）设 f(x) 是定义在 [a,b] 上的单调递增函数，证明：f(x) 在 [a,b] 上Riemann可积。

  5. （20分）设 f\in R[a,b]，证明：\lim_{p\to \infty}\int_a^bf(x)\cos (px)dx=0。

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