数学分析笔记

（20分）（1）（10分）对任意 $n\in \mathbb{N^*}$ ，证明： $x^n+nx-1=0$ 有唯一的正实根 $x_n$ 。

（2）（10分）证明： $\lim_{n\to \infty}x_n$ 存在，并求其值。
（20分）设 $R(x)=\frac{1}{q}$ （ $x=\frac{p}{q}$ ， $p$ ， $q$ 互质， $q>0$ ）， $0$ （ $x\notin \mathbb{Q}$ ）。

（1）（5分）证明： $R(x)$ 在所有有理点不连续。

（2）（15分）证明： $R(x)$ 在所有无理点连续。
（20分）证明：多项式 $P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}((x^2-1)^n)^{(n)}$ 在 $(-1,1)$ 上有 $n$ 个零点，其中 $((x^2-1)^n)^{(n)}$ 表示函数 $(x^2-1)^n$ 的 $n$ 阶导数。
（20分）设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的单调递增函数，证明： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积。
（20分）设 $f\in R[a,b]$ ，证明： $\lim_{p\to \infty}\int_a^bf(x)\cos (px)dx=0$ 。

最后编辑于：2023.12.19 16:33:18

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