材料力学---扭转(3)

外力偶矩的计算

外力偶矩本质上就是力矩,最直接的算法就是Me=Fd

原动机的外力偶矩

P为功率,n为轴的转速,注意,单位分别为kWr/min

扭矩图

如何求扭矩?答曰:截面法,这个在第一章里就讲过了,在此就不赘述了。

符号

使用右手螺旋法则,若力偶的矩矢背离截面,则为正。
这一点和应力类似,也是向外为正。

作扭矩图

作法和轴力图一致,在第一章有详细描述,在此也不赘述了。

纯剪切

薄壁圆筒的切应力公式

假设在薄壁圆筒上加了一对扭矩,薄壁圆筒、就是假设它的壁厚远小于半径。在圆筒上截取一薄片进行分析。

由于壁厚很薄,我们可以假设切应力在圆环上是等大的,所以扭矩显然符合
,对它进行变化,就能得到薄壁圆筒的切应力公式

切应力互等原理

一个微元,一个受到切应力的微元,符合这么一个原理。在相互垂直的两个平面上,切应力等大,且共同指向/背离于交线。

切应变和剪切胡克定律

受扭矩作用时的几何关系

根据图片显示的几何关系,可以得出以下结论

剪切胡克定律

这个定律不是推导的,而是通过实验得到的
纯剪切实验

显然,在应变不太大时,有着明显的一次关系,即

G为剪切弹性模量。

弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比μ之间符合以下关系,不过书上并没有证明

剪切应变能

应变能密度

证明过程

对公式进行简单的变化,就可以与上面的一致了。

圆周扭转时的应力和变形

变形

还是老一套,假设园洲上分布着轴向线、径向线和平面

则扭转后变成了这个样子

分析一下,可以发现横截面和轴线没有变化,横截面仍然为平面、并且垂直于轴线,而轴线仍为直线、长度不变。
只有径向线发生了改变,绕着轴线发生了旋转。

变形几何关系


对图片中的几何关系进行分析,其实和前面的方法一样(而且图片也是同源的),可以得出以下公式

然后我们来分析一下物理关系

我们将前面的公式,代入剪切胡克定律
可以得到

显然,同一截面上的切应力大小与半径成一次关系,如图所示。

静力关系

所以,根据上面的证明,我们得到

但我们还可以进一步简化

这里有抗扭截面系数Wt
最后得到

密圈螺旋弹簧的应力和变形

这个。。。公式超级复杂,但是似乎没考过、没写过题目,应该不重要吧。

应力

应力公式

其中k为曲度系数
曲度系数

c为弹簧指数
弹簧指数

推导过程

应变能

应变能

变形

变形

注意:虽然都是c,但是这里的弹簧钢度和前面的弹簧指数,不是同一个东西

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