第三章静态电磁场及其边值问题的解

静电场

基本方程和边界条件

基本方程的微分形式
$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$ $\nabla \times \vec{E} = 0$
基本方程的积分形式
$\oint_S \vec{D} \cdot d \vec{S} = \int_V \rho d V$ $\oint _C \vec{E} \cdot d \vec{l} = 0$
边界条件
$\vec{e_n} \cdot (\vec{D_1}-\vec{D_2}) = \rho_S \quad 或 \quad \vec{D_{1n}}-\vec{D_{2n}} = \rho_S$ $\vec{e_n} \times (\vec{E_1}-\vec{E_2}) = 0 \quad 或 \quad \vec{E_{1t}}-\vec{E_{2t}} = 0$

电位函数

电位函数及其微分方程

根据电场的无旋性（ $\nabla \times \vec{E} = 0$ )，引入电位函数 $\varphi$ ，使 $E = - \nabla \varphi$ 电位函数 $\varphi$ 与电场强度 $\vec{E}$ 的积分关系是 $\varphi = \int \vec{E} \cdot d \vec{l}$
在均匀、线性和各项同性电解质中，已知电荷分布求解为函数
点电荷 $\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \sum \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r_i'}|}$
体密度分布电荷 $\varphi ( \vec{r} ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon} \int_V \frac{ \rho (\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dV'$
面密度分布电荷 $\varphi ( \vec{r} ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon} \int_S \frac{ \rho (\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dS'$
线密度分布电荷 $\varphi ( \vec{r} ) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon} \int_l \frac{ \rho (\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dl'$
在均匀、线性和各向同行电介质中，电位函数满足泊松方程 $\nabla^2 \varepsilon (\vec{r}) = - \frac{\rho (\vec{r})}{\varepsilon}$ 或拉普拉斯方程 ( $\rho = 0$ ) 时 $\nabla^2 \varepsilon (\vec{r}) = 0$

电位的边界条件

$\varphi_1 = \varphi_2$ $\varepsilon_1 \frac{ \partial \varphi_1}{ \partial n } - \varepsilon_2 \frac{ \partial \varphi_2}{ \partial n } = - \rho_s$

电场能量和电场力

能量及能量密度

分布电荷的电场能量 $W_e = \frac{1}{2} \int_V \rho \varphi d V$
多导体系统电场能量 $W_e = \frac{1}{2} \sum^N_{i=1} \varphi_i q_i$
能量密度 $\varpi_e = \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E}$

电场力

用虚位移法求电场力 $F_i = - \frac{ \partial W_e }{ \partial g_i}|_{q=常数}$ $F_i = - \frac{ \partial W_e }{ \partial g_i}|_{\varphi·=常数}$

电容及部分电容

在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为 $C = \frac{q}{U}$
在多导体系统中，每个导体的电位不仅与本身所带的电荷有关，还与其他导体所带的电荷有关。为表征这种关联性，引入部分电容的概念，分为自由部分电容与互有部分电容。

恒定电场

z基本方程和边界条件

基本方程的微分形式
$\nabla \cdot \vec{B} = 0$ $\nabla \times \vec{H} = \vec{J}$
基本方程的积分形式
$\oint_S \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0$ $\oint _C \vec{H} \cdot d \vec{l} = \int_S \vec{J} \cdot d \vec{S}$
边界条件
$\vec{e_n} \cdot (\vec{B_1}-\vec{B_2}) = 0 \quad 或 \quad \vec{B_{1n}}-\vec{B_{2n}} = 0$ $\vec{e_n} \times (\vec{H_1}-\vec{H_2}) = \vec{J}_S \quad 或 \quad \vec{H_{1t}}-\vec{H_{2t}} = \vec{J}_S$

矢量磁位

矢量磁位及其微分方程

根据恒定磁场的无源性 ( $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ) ，引入矢量磁位 $\vec{A}$ ，使得 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$
在均匀、线性和各向同性磁介质中，已知电流求解矢量磁位
体分布电流 $\vec{A(r)} = \frac{ \mu }{4 \pi} \int_V \frac{ \vec{J(r')}}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dV'$
面分布电流 $\vec{A(r)} = \frac{ \mu }{4 \pi} \int_S \frac{ \vec{J_S(r')}}{|\vec{r}-\vec{r'}|}dS'$
线电流 $\vec{A(r)} = \frac{ \mu }{4 \pi} \oint_l \frac{Id \vec{l'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|}$
在均匀、线性和各向同性磁介质中，矢量磁位满足泊松方程 $\nabla^2 \vec{A} = - \mu \vec{J}$ 或拉普拉斯方程 ( $\vec{J}=0$ 时) $\nabla ^2 \vec{A} = 0$

矢量磁位的边界条件

$\vec{A_1}=\vec{A_2}$ $\vec{e_n} \times (\frac{1}{\mu_1} \nabla \times \vec{A_1}-\frac{1}{\mu_2} \nabla \times \vec{A_2}) = \vec{J_s}$

标量磁位

在没有传导电流的区域 ( $\vec{J}=0$ ) 由于 $\nabla \times \vec{H} = 0$ ，可引入标量磁位 $\varphi_m$ 使得 $\vec{H}=-\nabla \varphi_m$
在均匀、线性和各向同性磁介质中，标量磁位 $\varphi_m$ 满足拉普拉斯方程 $\nabla^2 \varphi_m = 0$

在两种磁介质的分界面上，标量磁位的边界条件是 $\varphi_{m1} = \varphi_{m2}$ $\mu_1 \frac{ \partial \varphi_{m1}}{\partial n} =\mu_2 \frac{ \partial \varphi_{m2}}{\partial n}$

磁场能量和磁场力

能量和能量密度

多个电流回路的能量 $W_m =\frac{1}{2} \sum^N_{i=1} \vec{I_i} \vec{ \psi_i}$
分布电流的能量 $W_m =\frac{1}{2} \int_V \vec{J} \cdot \vec{A} d V$
能量密度 $$ w_m = \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H}

磁场力

用虚位移法求磁场力
$\vec{F_x}=-\frac{\partial \vec{W_m}}{\partial X} |_{\psi = 常数 }$ $\vec{F_x}=-\frac{\partial \vec{W_m}}{\partial X} |_{L = 常数 }$

电感

回路的自感 $\vec{L} =\frac{\psi}{\vec{I}}$
回路的自感 $\vec{M_{21}} =\frac{\psi_{21}}{\vec{I_1}}$ $\vec{M_{12}} =\frac{\psi_{12}}{\vec{I_2}}$
纽曼公式 $\vec{M}=\frac{\mu}{4 \pi} \oint_{C1} \oint_{C2} \frac{d \vec{l_2} \cdot d \vec{l_1}}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|}$

边值问题及其解的唯一性

边值问题的类型

1、已知位函数在场域边界上的值。
2、已知位函数在场域边界上的法向导数。
3、已知部分场域边界上的位函数值与另一部分场域边界上的位函数法向导数。

唯一性定理

在场域 $V$ 的边界面 $S$ 上给定位函数 $\varphi$ 或 $\frac{ \partial \varphi}{ \partial n }$ 的值，则位函数 $\varphi$ 的泊松方程或拉普拉斯方程在场域 $V$ 内有唯一解。

镜像法

点电荷（或线电荷）对无限大接地导体平面的镜像法

$q'(\rho_i')=-q(或\rho_1)\quad,\quad\vec{h'}=\vec{h}$

点电荷对导体球面的镜像法

导体球接地

$q'=-\frac{a}{d}q\quad,\quad d'=\frac{a^2}{d}$

导体球不接地

$q'=-\frac{a}{d}q\quad,\quad d'=\frac{a^2}{d}\quad;\quad q''=-q'\quad,\quad d''=0$

线电荷对接地导体圆柱面的镜像法

$\rho_l'=-\rho_l \quad,\quad d'= \frac {a^2}{d}$

介质分界平面的镜像法

点电荷对电介质分界平面的镜像

$q'=\frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{ \varepsilon_1 + \varepsilon_2} q \quad,\quad h'=h \quad （场点在介质1内）$ $q''=-\frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{ \varepsilon_1 + \varepsilon_2} q \quad,\quad h''=h \quad （场点在介质2内）$

线电荷对磁介质分界平面的镜像

$I'=\frac{\mu_1 - \mu_2}{ \mu_1 + \mu_2} I \quad,\quad h'=h \quad$ $I''=-\frac{\mu_1 - \mu_2}{ \mu_1 + \mu_2} I \quad,\quad h''=h \quad$

分离变量法

直角坐标系中的分离变量法

位函数 $\varphi (x,y)$ 满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0$
方程的通解 $\varphi (x,y)=(A_0x+B_0)(C_0y+D_0)+\sum_{n=1}^\infty (A_n sin k_nx+B_n cos k_nx)(C_n sinh k_nx+D_n cosh k_nx)$ 或 $\varphi (x,y)=(A_0x+B_0)(C_0y+D_0)+\sum_{n=1}^\infty (A_n sinh k_nx+B_n cosh k_nx)(C_n sin k_nx+D_n cos k_nx)$

圆柱坐标系中的分离变量法

位函数 $\varphi (\rho,\phi)$ 满足拉普拉斯方程 $\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \frac{\partial \varphi}{\partial \rho}) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial \phi^2} = 0$
方程的通解 $\varphi (\rho,\phi)=C_0+D_0\ln \rho+\sum_{n=1}^\infty(A_n\cos n\phi+B_n\sin n\phi)(C_n\rho^n+D_n\rho^{-n})$

球坐标系中的分离变量法

位函数 $\varphi (r,\theta)$ 满足拉普拉斯方程 $\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r}) + \frac{1}{r^2\sin {\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}}) = 0$
方程的通解 $\varphi (\rho,\phi)=\sum_{n=0}^\infty[C_n r^n+D_n r^{-(n+1)}]P_n(\cos \theta)$

有限差分法

有限差分法的基本思路是将场域划分为网格，把求解场域内连续的场分布用求解网络节点上的离散数值解来代替，即用网络节点的差分方程近似替代场域内的偏微分方程来求解。
采用正方形网格划分时，二位拉普拉斯方程的差分格式为 $\varphi_{i,j}=\frac{1}{4}(\varphi_{i-1,j}+\varphi_{i,j-1}+\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i,j+1})$

最后编辑于：2019.12.09 04:20:56

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第三章 静态电磁场及其边值问题的解

静电场