近世代数理论基础34：域的相对自同构

域的相对自同构

自同构

定义：设E是F的扩域, $E/F$ 为域的扩张, $\sigma$ 为E的自同构,若 $\forall a\in F$ ,有 $\sigma(a)=a$ ,即 $\sigma$ 在F上是恒等映射,则称 $\sigma$ 为E相对于F的自同构,所有E相对于F的自同构组成一个群,称为扩张E/F的伽罗瓦群,记作 $Gal(E/F)$

例：

1.设p为素数,p次本原单位根 $\zeta_p=e^{2\pi/p}$ 在 $\Q$ 上的极小多项式为 $f(x)={x^p-1\over x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$

$f(x)$ 的所有根为 $\zeta_p,\zeta_p^2,\cdots,\zeta_p^{p-1}$ ,故 $\Q(\zeta_p)$ 是 $f(x)$ 在 $\Q$ 上的分裂域

定义 $\Q(\zeta_p)$ 相对 $\Q$ 的自同构 $\sigma_i(1\le i\le p-1)$ , $\sigma_i$ 在 $\Q$ 上为恒等映射,且 $\sigma_i(\zeta_p)=\zeta_p^i$

在任一 $\Q(\zeta_p)$ 相对 $\Q$ 的自同构下, $\zeta_p$ 一定映射为 $f(x)$ 的某一个根,故 $\{\sigma_i|1\le i\le p-1\}$ 是 $\Q(\zeta_p)$ 的所有相对 $\Q$ 的自同构,即 $Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)=\{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{p-1}\}$ ,故 $|Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)|=[\Q(\zeta_p):\Q]=p-1$

显然 $\sigma_i\sigma_j(\zeta_p)=\sigma_i(\sigma_j(\zeta_p))=\sigma_i(\zeta_p^j)=\zeta_p^{ij}=\sigma_{ij}$

群 $Gal(\Q(\zeta_p/\Q))$ 与模p乘法群 $(\Z/(p))^*$ 同构,后者是循环群,任一模p的原根g是它的生成元,故伽罗瓦群 $Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)$ 也是循环群

当g为模p的原根时, $\sigma_g$ 即 $Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)$ 的生成元

伽罗瓦群 $Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)$ 中任一相对自同构可看作多项式 $f(x)$ 所有根的一个置换

注：将求解代数方程转化为研究方程所有根的一个置换群(伽罗瓦群)

2.令 $F_{q^n}$ 表示有 $q^n$ 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 $F_{q^n}$ 看作它的子域 $F_q$ 的n次扩张

$F_{q^n}=F_q(\theta)$ , $\theta$ 是 $F_q$ 上的一个n次不可约多项式 $f(x)$ 的根

$f(x)$ 的所有根为 $\theta,\theta^q,\theta^{q^2},\cdots,\theta^{q^{n-1}}$ ,故 $F_{q^n}$ 是 $F_q$ 的正规扩张

域 $F_{q^n}$ 相对 $F_q$ 的任一自同构必将 $\theta$ 映射为 $f(x)$ 的某一个根

令 $\tau:\theta\mapsto \theta^q$ 为 $F_{q^n}$ 相对 $F_q$ 的自同构

$\forall a\in F_q$ ,有 $\tau(a)=a^q=a$ ,则 $Gal(F_{q^n}/F_q)=\{\tau,\tau^2,\cdots,\tau^{n-1},\tau^n=1\}$

是由 $\tau$ 生成的n阶循环群,其中 $\tau^i(\theta)=\theta^{q^i}(1\le i\le n)$

引理：设 $E/F$ 为有限扩张,则 $|Gal(E/F)|\le [E:F]$

证明：

$设E=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\Sigma为F的一个正规扩张,且使E\subset \Sigma$

$可取\Sigma为每个\alpha_i在F上的极小多项式乘积的分裂域$

$定义E\to \Sigma的F-嵌入映射$

$它是E到\Sigma中一个包含F的子域的同构映射$

$且将F的元映射为自身$

$设\alpha_1在F上的极小多项式为f_1(x)$

$F(\alpha_1)\to \Sigma的任一F-嵌入将\alpha_1映射为f_1(x)的某一根$

$\therefore F(\alpha_1)\to \Sigma的F-嵌入映射个数\le [F(\alpha_1):F]$

$设\alpha_2在F(\alpha_1)上的极小多项式为f_2(x)$

$当F(\alpha_1)\to \Sigma的任一F嵌入扩充为F(\alpha_1,\alpha_2)\to \Sigma的F-嵌入时$

$将\alpha_2映射为f_2(x)的某一根$

$\therefore F(\alpha_1)\to \Sigma的任一F-嵌入可扩充为F(\alpha_1,\alpha_2)\to \Sigma的F-嵌入个数\le [F(\alpha_1,\alpha_2):F(\alpha_1)]$

$\therefore E\to \Sigma的F-嵌入个数\le [F(\alpha_1):F]\cdot[F(\alpha_1,\alpha_2):F(\alpha_1)]\cdots[E:F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1})]=[E:F]$

$每个E相对F的自同构都可看作E\to \Sigma的一个F-嵌入$

$\therefore |Gal(E/F)|\le [E:F]\qquad\mathcal{Q.E.D}$

伽罗瓦扩张

定义：域的可分正规扩张称为伽罗瓦扩张,域的有限可分正规扩张称为有限伽罗瓦扩张

注： $Gal(E/F)$ 为交换群或循环群时, $E/F$ 分别称为交换扩张(阿贝尔扩张)或循环扩张

定理：若 $E/F$ 是有限伽罗瓦扩张,则 $|Gal(E/F)|=[E:F]$

证明：

$\because E是F的有限可分扩张$

$\therefore E是F的单扩张$

$设E=F(\alpha)$

$\because E是F的正规扩张$

$\therefore 在F上的极小多项式在E中有n=[E:F]个不同的根$

$\alpha_1=\alpha,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$

$任一映射\alpha\mapsto \alpha_i(1\le i\le n)决定E的一个相对F的自同构$

$且任一E相对F的自同构将\alpha映射为某个\alpha_i$

$\therefore |Gal(E/F)|=[E:F]\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：若K为F和E的中间域( $F\subset K\subset E$ ),E/F为伽罗瓦扩张,E为F的可分正规扩张,则E也是K上的可分正规扩张,故E/K也是伽罗瓦扩张,此时K是F上的可分扩张,但不一定是正规扩张

例：

1.设p为素数,p次本原单位根 $\zeta_p=e^{2\pi/p}$ , $\Q(\zeta_p)/\Q$ 是伽罗瓦扩张

2.令 $F_{q^n}$ 表示有 $q^n$ 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 $F_{q^n}$ 看作它的子域 $F_q$ 的n次扩张, $F_{q^n}/F_q$ 是伽罗瓦扩张

伽罗瓦群

定义：设 $f(x)$ 为域F上的多项式,E为 $f(x)$ 在F上的分裂域,则称 $Gal(E/F)$ 为多项式 $f(x)$ 或方程 $f(x)=0$ 在F上的伽罗瓦群

例：设 $E=\Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ , $\omega=e^{2\pi i/3}$ ,E为 $x^3-2$ 在 $\Q$ 上的分裂域,故 $E/\Q$ 是伽罗瓦扩张

$\omega$ 在 $\Q$ 上的极小多项式为 $x^2+x+1$ , $\sqrt[3]{2}$ 在 $\Q$ 上的极小多项式为 $x^3-2$

故 $[E:\Q]=[\Q(\sqrt[3]{2},\omega):\Q(\omega)][\Q(\omega):\Q]\le 3\cdot 2=6$

又 $2=[\Q(\omega):\Q]|[E:\Q]$

$3=[\Q(\sqrt[3]{2}):\Q]|[E:\Q]$

故 $[E:\Q]=6$ ,以 $\sigma_i(1\le i\le 6)$ 表示 $Gal(E/\Q)$ 中6个相对 $\Q$ 的自同构, $\sigma_i$ 在 $\sqrt[3]{2}$ 和 $\omega$ 上的作用分别为

$\sigma_1:\sigma_1(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma_1(\omega)=\omega$

$\sigma_2:\sigma_2(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\sigma_2(\omega)=\omega$

$\sigma_3:\sigma_3(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega^2,\sigma_3(\omega)=\omega$

$\sigma_4:\sigma_4(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma_1(\omega)=\omega^2$

$\sigma_5:\sigma_5(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\sigma_1(\omega)=\omega^2$

$\sigma_6:\sigma_6(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega^2,\sigma_1(\omega)=\omega^2$

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