椭圆：2018年全国卷A题15

椭圆：2018年全国卷A题15

设 F_1,F_2 为椭圆 C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{20}=1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限. 若 \triangle MF_1F_2 为等腰三角形，则 M 的坐标为 \underline{\mspace{100mu}} .

【解析】

由椭圆方程可知：a=6,c=4,e=\dfrac{2}{3},e^2=\dfrac{4}{9}

因为 M 在第一象限. 所以 F_1M 不能是 \triangle MF_1F_2 的底，只能是这个三角形的腰，

|F_1F_2| = 2c =8 \Rightarrow |F_1M|=8

如果以左焦点为极点，椭圆的极坐标方程为：\rho=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e \cos \theta}

代入条件 \rho=8 及相关参数可得：\cos \theta=\dfrac{7}{8}

x_{_M}=\rho \cos \theta +c = 3

代入直角坐标系的方程可得：y_{_M}=\sqrt{15}

为保险起见，我们可以验算一下。

(3,\sqrt{15}) 与左焦点 (-4,0) 的距离为：\sqrt{(3+4)^2+15}=8.

可见，(3,\sqrt{15}) 满足题目要求。

以上是极坐标与直角坐标相结合的解法。

本题如果不用极坐标，只用直角坐标，也是可以解决的。因为 |F_1M|=8, 所以点 M 在一个以 F_1 为圆心、半径等于 8 的圆上。联立圆与椭圆的方法，可以解出点 M 的坐标。有兴趣的读者可以自行尝试。

【提炼与提高】

圆锥曲线的极坐标方程，在早期的高中数学教科书中有独立的章节介绍。在目前的人教版教材中，这部分内容大幅缩水，很难找到。

从备考的角度来看，在部分考题中使用极坐标方法，往往能起到「事半功倍」的效果。

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