《普林斯顿微积分读本》读书笔记

第1章函数、图像和直线

1.1 函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则。起始对象称为输入，来自称为定义域的集合。返回对象称为输出，来自称为上域的集合。

注：f是一个变换规则，而f(x)是把这个变换规则应用于变量x后得到的结果。因此，说"f(x)是一个函数"是不正确的，应该说"f是一个函数"。

如果两个函数g和f，g和f有相同的规则，但g的定义域小于f的定义域，因此我们可以说g是由限制f的定义域产生的。
一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。

值域是所有可能的输出所组成的集合。可以认为函数转变其定义域中的一切,每次转变一个对象;转变后的对象所组成的集合称作值域。

值域是上域的一个子集。上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合。
- 例：如果 $f(x)=x^2$ ，其定义域和上域均为 $R$ ，那么其值域是非负数的集合。
- 例：如果 $g(x)=x^2$ ，其定义域仅为非负数，但其上域仍是所有实数 $R$ ，那么其值域还是非负数的集合。
简单说：你就把它（上域）理解成如来佛的手掌心，值域就是孙悟空飞过的轨迹。不管怎样，值域都飞不出上域。😜。

区间表示法

我们约定， $[a,b]$ 是指从a到b端点间的所有实数，包括a和b。所以[a, b]指的是所有使得a<=x<=b成立的x的集合。例如，[2,5]是所有介于2和5之间(包括2和5)的实数的集合。

像 $[a,b]$ 这种形式表示的区间称作闭区间。
像 $(a,b)$ 这种形式表示的区间称作开区间。
像指的是介于a和b之间、包括a但不包括b的所有实数的集合。这样的区间称作==半开区间。
- 例： ${x:2<=x<=5}$ 就是一个例子,也可以写成[2,5)。
$(a,∞)$ ,它是指大于a但不包括a的所有数。

区间

求定义域

规则约定：

分数的分母不能是零。
不能取一个负数的平方根(或四次根，六次根，等等)。
==不能取一个负数或零的对数==。
注：可以取0的平方根，但不能取0的对数。

利用函数图像求值域

例如：定义一个新的函数 $F$ ,指定其定义域为 $[−2,1]$ ,并且 $F(x) =x^2$ 在此定义域上。
基本思想是：画出函数图像，然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向y轴水平地射入两束亮光。曲线会在y轴上有两个影子，一个在y轴的左侧，另一个在y轴的右侧.值域就是影子的并集；也就是说，如果y轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里，那么它处于函数的值域中。

函数图像

左侧的影子覆盖了y轴从0到4(包括0和4)的所有点，也就是[0,4]；另一方面，右侧的影子覆盖了从0到1 (包括0和1)的所有点，也就是[0,1]。右侧的影子没有贡献更多，全部的覆盖范围仍然是[0,4]。这就是函数F的值域。

垂线检验

要检验一个图像是否是函数图像，就看看任一一条垂线是否与图像的相交点多余一个，如果只有一个相交点，那这个图像就是函数图像，反之亦然。其原理是：对于一个函数图像，在定义域的x只能对应一个在值域的f(x)，如果一条垂线与图像有两个相交点，那x对应的f(x)值就有两个，这就不是函数图像。
- 简单说：0个交点，或者只有1个交点。要么是单身狗，要找女朋友只能找一个。

1.2 反函数

给了一个实数Y，规则已知，那么需要输入一个什么X才能得到这个输出Y。

定一个函数f，在f的值域中选择y。在理想状况下，仅有一个x值满足。如果上述理想状况对于值域中的每一个y来说都成立，那么就可以定义一个新的函数，它将逆转变换。从输出y出发，这个新的函数发现一个且仅有一个输入x满足。这个新的函数称为f的反函数,并写作。
- 看着很简单的一个条件，但实际上隐含了非常严格的特征。即==这个函数必须是单增或者单减。也就是这个函数的导数或者总是大于零，或者总是小于零，没有其他的类型==。函数图像如果有起伏的变化，一个y值通常就要对应两个或多个x值，通常是要把函数分成单增及单减两段来考察的。
- $f^{−1}$ 的定义域和f的值域相同。
- $f^{−1}$ 的值域和f的定义域相同。

水平线检验

如果每一条水平线和一个函数的图像==相交至多一次==，那么这个函数就==有一个反函数==。即使只有一条水平线和图像相交多于一次，这个函数也是没有反函数的。
例：

水平线检验
垂线检验解决的是A→B的映射中B唯一的问题，水平线检验解决的则是B→A的映射中A唯一的问题，换句话说，映射的目标是否唯一是函数是否存在的关键，也是检验的目标。

求反函数

例： $f(x)=x^3$ ，有 $y=x^3$ ，所以 $x=\sqrt[3]{y}$ ，即 $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$ 。
反函数图像基本思想：f(x)通过(a,b), $f^{-1}(x)$ 通过(b,a), 这两点所在直线斜率为y=-x. 和y=x垂直. 所以图像必然对称。

反函数
注意：f和 $f^{−1}$ 的定义域和值域都是整个实轴。如果不是包括整个实轴就意味着函数曲线必然会弯曲过水平线或垂直线。

限制定义域

如果水平线检验失败因而没有反函数，那应该怎么办呢？
- 对于相同的y有多个x值，必须决定要保留哪一个x值，然后放弃剩余的值。

反函数的反函数

如果f有反函数，那么对于在f定义域中的所有x, $f^{−1}(f(x))=x$ 成立；同样，对于在f值域当中的所有y，都有 $f(f^{−1}(y))$ =y。
==当一个函数存在反函数时，它的反函数的反函数，就是这个函数本身==。
如果一个函数f的定义域可以被限制, 使得f有反函数，那么，对于f值域中的所有y，都有；但是可能不等于x；事实上，仅当x在限制的定义域中才成立。
- 简单说：f(x)是一个海王，每个城市都有一个女盆友（x），所以，不能单纯地说海王的女盆友是谁谁谁，只能说在某个城市女盆友是谁谁谁。

1.3 函数的复合

注：当你将f(x)写成f(某表达式)，可将每一个x替换成(某表达式)，这时一定要加小括号。唯一不需要加小括号的情况是，函数是指数函数时。

可以写成，这里的表示“与……的复合”, 即f是g与h的复合。
- 但在计算时，遵循先求里面再求外面的原则。即先求g，再求h。
- 例： $f(x)=m(k(j(h(g(x)))))$ 利用复合符号,可以写成 $f=m \circ k \circ j \circ h \circ g$ 。
- 注：函数的复合不是把他们相乘。函数的乘积和复合是不同的，且函数的复合与函数顺序有关系，而函数的乘积与函数顺序无关。
将函数f和(a是常数)进行复合。对复合得到的新函数。
- 注：新函数y=h(x)和函数y=f(x)的图像是一样的，只不过y=h(x)的函数图像向右平移了a个单位。如果a是负的,那么就是向左平移。
  
  函数移动

1.4 奇函数和偶函数

若函数f是奇函数，则对所有x有： $f(-x)=-f(x)$ 。关于原点有180°对称。
若函数f是偶函数，则对所有x有： $f(-x)=f(x)$ 。关于y轴对称。
注：大多数函数是非奇非偶的；只有一个函数是既奇又偶的 $f(x)=0$ 。
运算法则：
- (1)两个偶函数相加所得的和为偶函数。
- (2)两个奇函数相加所得的和为奇函数。
- (3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
- (4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
- (5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
- (6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

1.5 线性函数的图像

形如 $f(x)=mx+b$ 的函数叫作线性函数。

如果已知直线通过点 $(x_0, y_0)$ ，斜率为 $m$ ，则它的方程为 $y−y_0=m(x−x_0)$ 。
如果一条直线通过点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ ，则它的斜率 $m$ 等于 $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ 。

1.6 常见的函数及其图像

多项式：于x的非负次幂建立起来的。基本项 $x^n$ 的倍数叫作 $x^n$ 的系数。==最大的幂指数n==(该项系数不能为零)叫作多项式的次数。

多项式函数图像
- 次数为==奇数==的多项式，首项系数大于零时从左下往右上，反之从左上往右下。
- 次数为==偶数==的多项式，首项系数大于零时大体呈U字型，反之呈倒U字型。
二次函数： $p(x)=ax^2+bx+c$ ，判断其是否有根，用 $△=b^2-4ac$ 来表示。
- $△>0$ ，有两个不同的解。
- $△=0$ ，有两个相同的解。
- $△<0$ ，在实数范围内无解。
有理函数：形如 $\frac{p(x)}{q(x)}$ ，其中p和q为多项式的函数，叫作有理函数。

奇函数与偶函数
- 考研中，有一类题目就是求解有理函数的不定积分，解题思路一般是==通过待定系数法凑成不定积分的基本公式求解==。
指数函数和对数函数：

指数函数和对数函数
三角函数：

三角函数
- 反三角函数：
  
  反三角函数
带有绝对值的函数： $|x|=\left\{\begin{array}{cl} x & \text { 如果 } x \geqslant 0, \\ -x & \text { 如果 } x<0 . \end{array}\right.$