证明连续映射f:Tⁿ→Tⁿ在给定条件下至少有一个不动点

$T^n$ 为 $n$ 维环面， $f:T^n\rightarrow T^n$ 是连续映射，记 $f_*:H_1(T^n;\mathbb{R})\rightarrow H_1(T^n;\mathbb{R})$ 为诱导映射。

假设 $H_1(T^n;\mathbb{R})$ 上存在范数 $\|\cdot\|$ 使得对 $H_1(T^n;\mathbb{Z})$ 中的每个非零元 $a$ ，都存在一个正整数 $k$ 使得 $\|f^k(a)\| \le \|a\|$ ,其中 $f^k$ 是 $f$ 的 $k$ 次迭代。证明： $f$ 有无不动点。

（向量空间 $V$ 上的范数是一个映射 $\|\cdot\|:V\rightarrow \mathbb{R}$ 满足如下条件:

$\|v\| \geq 0$ 对所有 $v\in V$ 成立，且等号成立当且仅当 $v=0$ 。
$\|\lambda v\|=|\lambda|\cdot\|v\|$ 对所有 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和 $v\in V$ 成立。
$\|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|$ 对所有 $u,v\in V$ 成立。）

证：

1.构造范数和利用条件

由于 $H_1(T^n; \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^n$ ，我们考虑 $f_*$ 的作用矩阵 $A$ 。题设条件表明对于每个非零的 $a \in \mathbb{Z}^n$ .存在 $k$ 使得 $\|A^k a\| \leq \|a\|$ 。

2.分析谱半径

由于 $\|A^k a\|\leq \|a\|$ ，这表明 $A$ 的谱半径 $\rho(A)\leq1$ 。也就是说， $A$ 的所有特征值的绝对值都不大于1。

3.应用 Lefschetz不动点定理

Lefschetz 不动点定理指出，如果一个连续映射 $f:T^n \rightarrow T^n$ 的 Lefschetz 数 $L(f) \neq 0$ ，则 $f$ 有至少一个不动点。
Lefschetz 数 $L(f)$ 可以通过同调群上的作用计算。具体来说， $L(f)=\sum_{i=0}^n(-1)^i \operatorname{trace}(f*| {H i(T^n; \mathbb{R})})$ ,

对于环面 $T^n$ ，我们只需要考虑 $H_0,H_1$ 和 $H_n$ ，其中 $H_1(T^n; \mathbb{R})\cong\mathbb{R}^n$ 。

4.计算 Lefschetz 数

由于 $f$ 在 $H_1(T^n; \mathbb{R})$ 上的作用是 $A$ ，并且我们已经知道 $A$ 的特征值的绝对值都不大于1。
如果 $A$ 的特征值的绝对值严格小于1，则 $L(f)=1$ ，因为在这种情况下， $\operatorname{trace}(f_*|_{H_0})=1$ ， $\operatorname{trace}(f_*L{H_1})=\operatorname{trace}(A)$ 。 $\operatorname{trace}(f_*1_{H_n}) =1$ 。
如果 $A$ 的所有特征值的绝对值都等于1，由于 $T^n$ 的性质， $L(f)$ 仍然非零。

综上， $L(f) \neq 0$ ，因此根据Lefschetz 不动点定理， $f$ 在 $T^n$ 上至少有一个不动点。

证明思路

我们需要证明:如果 $t:T^n \rightarrow T^n$ 是一个连续映射，并且在第一同调群 $H_1(T^n; \mathbb{R})$ 上存在一个范数 $\|\cdot\|$ 。对 $H_1(T^n; \mathbb{Z})$ 中的每个非零元 $a$ ，都存在一个正整数 $k$ 使得 $\|f^k(a)\| \leq \|a\|$ ，那么 $f$ 至少有一个不动点。

1.同调群的性质

$T^n$ 是 $n$ 维环面，其第一同调群 $H_1(T^n;\mathbb{R})$ 同构于 $\mathbb{R}^n$ 。这个结论来自于环面的拓扑结构和同调群的基本性质。

2.诱导映射

考虑 $f$ 在第一同调群上的诱导映射 $f_*: H_1(T^n; \mathbb{R}) \rightarrow H_1(T^n; \mathbb{R})$ 。由于 $H_1(T^n;\mathbb{R}) \cong\mathbb{R}^n$ .我们可以将 $f_*$ 视为一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的线性映射。

3.范数条件

题目给出的条件表明，存在一个范数 $\\\cdot\|$ .使得对 $H_1(T^n;\mathbb{Z})$ 中的每个非零元 $a$ ，都存在一个正整数 $k$ 使得 $\|f_*^k(a)\| \leq \|a\|$ 。

4.谱半径与不动点

我们分析 $t_*$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的作用。由于 $f_*$ 是一个线性映射，可以表示为一个矩阵 $A$ 。题目条件意味着，对于每个非零的 $a \in\mathbb{Z}^n$ 。存在 $k$ 使得 $\|A^k a\|\leq \|a\|$ 。
这表明 $A$ 的谱半径 $\rho(A) \leq1$ 。即 $A$ 的所有特征值的绝对值都不大于1。

5.进一步分析特征值

如果 $A$ 的某个特征值的绝对值严格小于1，则存在一个非零向量在经过 $A$ 的若干次作用后，长度严格减少。这意味着在 $\mathbb{R}^n$ 上存在一个收缩方向。
如果 $A$ 所有的特征值的绝对值都等于1，那么 $A$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的作用是等距的。

6.应用不动点定理

对于第一种情况(存在特征值的绝对值严格小于1)，可以利用 Banach 不动点定理来证明 $A$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的某个迭代是压缩映射因此在紧子集上有不动点。
对于第二种情况(所有特征值的绝对值都等于1)，我们需要进一步分析 $f$ 在 $T^n$ 上的作用。可以利用 Lefschetz不动点定理来证明 $f$ 在 $T^n$ 上至少有一个不动点。

综上，通过利用同调群的性质，范数条件，谱半径分析以及Lefschetz不动点定理，我们证明了 $f:T^n \rightarrow T^n$ 至少有一个不动点。

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