这部分主要式介绍Dirac方程及其相关内容，最终得到正反电子自旋向上和向下的旋量。
Dirac方程是描述自旋为
的费米子波函数随时间演化的相对论性波动方程，由Dirac在1928年提出。它的平面波解有四个，分别对应正反费米子自旋向上和向下的四种情况。
Dirac方程
在牛顿力学中，质点能量和动量的关系由
描述。
其对应的量子力学波动方程可以通过对应关系得到。对应关系为：
， 
。从而得到：
其中)
为含时波函数。上式即为非相对论性量子力学波动方程——Schrodinger方程。
Dirac方程可以从相对论性的质壳方程（
）得到。此时的对应关系为：
，其中
，
即为协变坐标，即：
同理容易得到：
，
。
此处不详细推导Dirac方程，而是直接给出方程的形式：
其中
，
为
的Gamma矩阵，
是粒子波函数。粒子波函数是一个四分量列矩阵(four-element column matrix)，也称为双旋量(bispinor)或Dirac旋量(Dirac spinor)，记为：)
之所以不称它为向量或者矢量，是因为它的内积计算方法和矢量的不一致，在此不做详细介绍。
一般来说Gamma矩阵中存在相角，取不同的相角可以得到不同的Gamma矩阵表达形式。在此取标准Bjorken和Drell约定：%2C%5C%20%5Cgamma%5Ei%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%26%5Csigma%5Ei%5C%5C-%5Csigma%5Ei%260%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
其中
表示一个
的单位矩阵，
表示一个的矩阵，
表示Pauli矩阵（参考基本量子电动力学过程振幅计算（三））。
反对易子定义为
，得到Gamma矩阵的反对易关系：
其中
就是Minkowski度规。
Dirac方程的平面波解
设平面波解的形式为%3Dae%5E%7B-i%20k%5Ccdot%20x%7Du(k))
。
其中
为四矢量，为逆变坐标，
为它们的内积
，)
为关联双旋量(associated bispinor)，写为%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7Du_A%5C%5Cu_B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
。
详细解法可以参考相关文献，最终得到四矢量和四动量
的关系为
。其中正号对应正粒子，负号对应反粒子。除此之外还需要一个归一化常数，采用Halzen和Martin关系
，得到归一化常数为%2Fc%7D)
。于是得到四个平面波解：
（1）当)
时，%7D%3DN%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%5C%5C0%5C%5C%5Cfrac%7Bcp_z%7D%7BE%2Bmc%5E2%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bc(p_x%2Bip_y)%7D%7BE%2Bmc%5E2%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
，对应自旋向上的粒子；
（2）当)
时，%7D%3DN%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%5C%5C1%5C%5C%5Cfrac%7Bc(p_x-ip_y)%7D%7BE%2Bmc%5E2%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bcp_z%7D%7BE%2Bmc%5E2%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
，对应自旋向下的粒子；
（3）当)
时，%7D%3DN%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cfrac%7Bc(p_x-ip_y)%7D%7BE-mc%5E2%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bcp_z%7D%7BE-mc%5E2%7D%5C%5C0%5C%5C1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
，对应自旋向下的反粒子；
（4）当)
时，%7D%3DN%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cfrac%7Bcp_z%7D%7BE-mc%5E2%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bc(p_x%2Bip_y)%7D%7BE-mc%5E2%7D%5C%5C1%5C%5C0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
，对应自旋向上的反粒子。
最终得到正粒子波函数为
，反粒子的波函数为
。另外可以得到正粒子关联双旋量满足的动量空间Dirac方程(the momentum space Dirac equation)是u%3D0)
，反粒子的关联双旋量满足的动量空间Dirac方程是v%3D0)
。
定义伴随旋量：)
得到伴随旋量对应的动量空间Dirac方程，其中正粒子为%3D0)
，反粒子的为%3D0)
。
