本部分主要介绍自旋算符和自旋耦合
BQEDP讨论的粒子包括电子、正电子和光子。在量子力学中，电子自旋为
，光子自旋为
。电子自旋有两个方向——向上或者向下，分别对应自旋第三分量
和
；光子有两个极化方向——右旋和左旋，分别对应自旋第三分量
和
。这是相对论性波动方程——Dirac方程和Klein-Gordon方程解的必然(参考基本量子电动力学振幅计算（四）和基本量子电动力学振幅计算（五）)。在非相对论性量子力学中，Schrodinger方程的解仅可以提供三个量子数描述一个氢原子体系——主量子数
、轨道量子数
和磁量子数
。氢负离子(
)的两个电子有相同的三个量子数，而根据Pauli不相容原理(Pauli exclusion principle)描述他们的量子数必然有不同的，这意味着必须存在第四个量子数去描述一个费米子量子体系。这第四个量子数便是自旋(spin)
。
自旋算符
自旋用旋量表示，自旋向上和向下分别记为：%2C%5C%20%7C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Crangle%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%5C%5C1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
自旋算符是一个矢量算符，它在三个方向上的分量为：%2C%5C%20%5Chat%7BS%7D_y%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%26-i%5C%5Ci%260%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%2C%5C%20%5Chat%7BS%7D_z%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%260%5C%5C0%26-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
自旋算符可以写成
，
在三个方向上的分量为：%2C%5C%20%5Csigma_y%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%26-i%5C%5Ci%260%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)%2C%5C%20%5Csigma_z%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%260%5C%5C0%26-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright))
其中被称为Pauli自旋矩阵(Pauli spin matrices)。
自旋耦合
两个费米子组成的量子体系的总自旋由这两个费米子的自旋得到，被称为自旋耦合。这部分首先直接给出一般角动量耦合的公式，接着对两个粒子的自旋耦合进行讨论。
假设有两个粒子，它们的角动量和角动量第三分量分别记为
和
。那么它们之间耦合得到的总角动量和总角动量的第三分量
为：%7D_%7Bj%3D%7Cj_1-j_2%7C%7DC%5E%7Bjj_1j_2%7D_%7Bmm_1m_2%7D%7Cjm%5Crangle)
其中
，
称为Clebsch-Dordan系数(Clebsch-Gordan coefficients，简称C-G系数)。用旋量标记两个费米子的自旋，考虑它们之间的耦合：
得到三个自旋为的态：
%20%5C%5C%20%7C1%5C%20-1%5Crangle%3D%7C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Crangle%7C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Crangle%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
和一个自旋为
的态：)
其中三个自旋为的态称为三重态(triplet)，一个自旋为的态称为单态(singlet)。如果使用箭头表示自旋的方向，
表示自旋向上，
表示自旋向下，那么自旋三重态和自旋单态的自旋波函数可以简单的表示为：%2C%5C%20%7C1%5C%20-1%5Crangle%3D%5Cdownarrow%5Cdownarrow%2C%5C%20%7C0%5C%200%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D(%5Cuparrow%5Cdownarrow-%5Cdownarrow%5Cuparrow))
其中自旋为的波函数满足交换对称性，自旋为的波函数满足交换反对称性。至此得到两个费米子耦合时自旋的耦合波函数。
