【游戏数值】PRD算法下的伪随机分布暴击机制分析

1.简介

PRD是war3计算暴击时使用的伪随机算法，其意义是减少极端事件发生的概率，平衡游戏体验。类似的情形是抽奖等，同样服从二项分布的情景，都可以不同程度上使用基于PRD的伪随机分布作为替代。

2.随机与伪随机

生成服从均匀分布的随机数是容易的，然后通过逆采样变换可以得到服从任意分布的随机数

假设需要生成服从分布 $F$ 的随机数，只需生成 $y$ ~ $U(0,1)$ ，令 $y = F(x)$ ，则 $x = G(y) = F^{-1}(y)$ ，由此变换得到的 $x$ 服从分布F

计算机通过简单采样以外的方法生成的非均匀分布的随机数，都可以理解为是伪随机数

3.PRD算法

一般暴击事件可以用二项分布去描述和建模。例如事件 $\{进行n次普攻有k次暴击\}$ ，其概率分布函数 $P(X_n=k)$ 为：
$P(X_n=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
其中 $p$ 为单次普攻暴击的概率

在介绍PRD是如何运作之前，我们需要修改一下上述的事件描述，他仍然服从二项分布，事实上就是 $k=1$ 的情形。事件 $\{进行n次普攻最后1次暴击\}$ ，其概率分布函数 $P(X_n)$ 为：
$P(X_n) = p \cdot (1-p)^{n-1}$
其数学期望记为 $E_{bnl}$ ：
$E_{bnl} = E(P(X_n)) = \Sigma_{n=1}^{\infty} p \cdot (1-p)^{n-1} \cdot n$
PRD算法：直到下一次暴击之前，单次普攻暴击的概率为 $n*c$ ， $n$ 为上一次暴击之后的普攻次数，暴击后 $n$ 重置为1

PRD算法下事件 $\{进行n次普攻最后1次暴击\}$ 的概率分布函数 $P(X_n)$ 为：
$P(X_n) = n \cdot c \cdot (1 - c) \cdot (1 - 2c) \cdot (1 - 3c) ...... = n! \cdot c \cdot \Pi_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{i} - c)$
其数学期望记为 $E_{prd}$ ：
$E_{prd} = E(P(X_n)) = \Sigma_{n=1}^{sup} n \cdot c \cdot (1 - c) \cdot (1 - 2c) \cdot (1 - 3c) ...... \cdot n = \Sigma_{n=1}^{sup} n! \cdot c \cdot \Pi_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{i} - c) \cdot n$
其中 $sup$ 为最大不暴击次数，可由 $[\frac{1}{c}]+1$ 计算