命题：切空间之间的线性映射
设 
和 
是可微流形，
是一个可微映射。
- 对于每个
和每个 
，选择一个可微曲线 %20%5Crightarrow%20M_1)
满足 %20%3D%20p)
，%20%3D%20v)
。取 
。
- 映射
%7DM_2)
由 %20%3D%20%5Cbeta'(0))
给出，是一个线性映射，并且不依赖于 
的选择（如下图）。
证明：设 
和 
分别是点 
和 )
的参数化【坐标映射】。在这些参数化中表达 
，我们可以写出
%20%3D%20(y_1(x_1%2C%20%5Cldots%2C%20x_n)%2C%20%5Cldots%2C%20y_m(x_1%2C%20%5Cldots%2C%20x_n)))
其中 %20%5Cin%20U)
，%20%5Cin%20V)
。
另一方面，用参数化 
表达 ，我们得到
%20%3D%20(x_1(t)%2C%20%5Cldots%2C%20x_n(t)))
因此，
%20%3D%20(y_1(x_1(t)%2C%20%5Cldots%2C%20x_n(t))%2C%20%5Cldots%2C%20y_m(x_1(t)%2C%20%5Cldots%2C%20x_n(t))))
由此可知，关于与参数化 
相关联的 %7DM_2)
的基 _0%5Cright%5C%7D)
的 )
的表达式由下式给出
%20%3D%20%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y_1%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%20x_i'(0)%2C%20%5Cldots%2C%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y_m%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%20x_i'(0)%5Cright))
关系式 (3) 立即表明 不依赖于 的选择。此外，(3) 可以写成
%20%3D%20d%5Cvarphi_p(v)%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y_i%7D%7B%5Cpartial%20x_j%7D%5Cright)(x_j'(0)))
其中 
，
其中 )
表示一个 
矩阵，)
表示一个具有 
个元素的列矩阵。因此，
是 
的线性映射。
将 映射到 ，其在由参数化 和 得到的关联基中的矩阵正是矩阵 。
微分同胚
2.8 定义 由命题 2.7 定义的线性映射 被称为 在 处的微分。
2.9 定义 设 
和 
是可微流形。映射 是一个微分同胚，如果它是可微的、双射的，并且它的逆 
是可微的。如果存在 的邻域 
和 的邻域 
，使得 
是一个微分同胚，则称 在 
处是一个局部微分同胚。
微分同胚的概念是可微流形之间等价的自然想法。如果 是一个微分同胚，那么 %7D%20M_2)
对所有 都是一个同构；特别地， 和 的维数相等。以下定理是这一事实的局部逆。
浸入【immersion】与嵌入
定义：浸入 设 
和 
是可微流形。如果对于所有 ，可微映射 
满足 %7DN)
是单射的，则称 是一个浸入映射。
此外，如果 是 %20%5Csubset%20N)
上的同胚映射，其中 )
具有从 
诱导的子空间拓扑，那么我们说 是一个嵌入映射。如果 
且包含映射 
是一个嵌入映射，那么我们说 
是 的一个子流形。
可以看出，如果 
是一个浸入映射，那么 
；差值 
被称为浸入映射 的余维数。
例子
例一： 由 %20%3D%20(t%2C%20%7Ct%7C))
定义的曲线 
在 
处不可微（图5）。
例二 如下图：由 %20%3D%20(t%5E3%2C%20t%5E2))
定义的曲线 是一个可微映射，但不是一个浸入映射。实际上，在此情况下，映射成为浸入映射的条件等价于 %20%5Cneq%200)
，而这在 
时并不成立。
命题 设 
，其中 
，是可微流形 到可微流形 的一个浸入映射。对于 中的每个点 ，存在一个 的邻域 
，使得限制映射 
是一个嵌入映射。
