二、黎曼几何[微分同胚，浸入，嵌入]

命题：切空间之间的线性映射

设 $M_1^n$ 和 $M_2^m$ 是可微流形， $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ 是一个可微映射。

对于每个 $p \in M_1$ 和每个 $v \in T_pM_1$ ，选择一个可微曲线 $\alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M_1$ 满足 $\alpha(0) = p$ ， $\alpha'(0) = v$ 。取 $\beta = \varphi \circ \alpha$ 。
映射 $d\varphi_p: T_pM_1 \rightarrow T_{\varphi(p)}M_2$ 由 $d\varphi_p(v) = \beta'(0)$ 给出，是一个线性映射，并且不依赖于 $\alpha$ 的选择（如下图）。

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证明：设 $x: U \rightarrow M_1$ 和 $y: V \rightarrow M_2$ 分别是点 $p$ 和 $\varphi(p)$ 的参数化【坐标映射】。在这些参数化中表达 $\varphi$ ，我们可以写出

$y^{-1} \circ \varphi \circ x(q) = (y_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, y_m(x_1, \ldots, x_n))$

其中 $q = (x_1, \ldots, x_n) \in U$ ， $(y_1, \ldots, y_m) \in V$ 。

另一方面，用参数化 $x$ 表达 $\alpha$ ，我们得到

$x^{-1} \circ \alpha(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))$

因此，

$y^{-1} \circ \beta(t) = (y_1(x_1(t), \ldots, x_n(t)), \ldots, y_m(x_1(t), \ldots, x_n(t)))$

由此可知，关于与参数化 $y$ 相关联的 $T_{\varphi(p)}M_2$ 的基 $\left\{\left(\frac{\partial}{\partial y_i}\right)_0\right\}$ 的 $\beta'(0)$ 的表达式由下式给出

$\beta'(0) = \left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y_1}{\partial x_i} x_i'(0), \ldots, \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y_m}{\partial x_i} x_i'(0)\right)$

关系式 (3) 立即表明 $\beta'(0)$ 不依赖于 $\alpha$ 的选择。此外，(3) 可以写成

$\beta'(0) = d\varphi_p(v) = \left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\right)(x_j'(0))$

其中 $i = 1, \ldots, m; \quad j = 1, \ldots, n$ ，

其中 $\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\right)$ 表示一个 $m \times n$ 矩阵， $x_j'(0)$ 表示一个具有 $n$ 个元素的列矩阵。因此， $d\varphi_p$ 是 $T_pM_1$ 的线性映射。

将 $T_pM_1$ 映射到 $T_{\varphi(p)}M_2$ ，其在由参数化 $x$ 和 $y$ 得到的关联基中的矩阵正是矩阵 $\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\right)$ 。

微分同胚

2.8 定义 由命题 2.7 定义的线性映射 $d\varphi_p$ 被称为 $\varphi$ 在 $p$ 处的微分。

2.9 定义 设 $M_1$ 和 $M_2$ 是可微流形。映射 $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ 是一个微分同胚，如果它是可微的、双射的，并且它的逆 $\varphi^{-1}$ 是可微的。如果存在 $p$ 的邻域 $U$ 和 $\varphi(p)$ 的邻域 $V$ ，使得 $\varphi: U \rightarrow V$ 是一个微分同胚，则称 $\varphi$ 在 $p \in M$ 处是一个局部微分同胚。

微分同胚的概念是可微流形之间等价的自然想法。如果 $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ 是一个微分同胚，那么 $d\varphi_p: T_p M_1 \rightarrow T_{\varphi(p)} M_2$ 对所有 $p \in M_1$ 都是一个同构；特别地， $M_1$ 和 $M_2$ 的维数相等。以下定理是这一事实的局部逆。

浸入【immersion】与嵌入

定义：浸入 设 $M^m$ 和 $N^n$ 是可微流形。如果对于所有 $p \in M$ ，可微映射 $\varphi: M \rightarrow N$ 满足 $d\varphi_p: T_pM \rightarrow T_{\varphi(p)}N$ 是单射的，则称 $\varphi$ 是一个浸入映射。

此外，如果 $\varphi$ 是 $\varphi(M) \subset N$ 上的同胚映射，其中 $\varphi(M)$ 具有从 $N$ 诱导的子空间拓扑，那么我们说 $\varphi$ 是一个嵌入映射。如果 $M \subset N$ 且包含映射 $i: M \subset N$ 是一个嵌入映射，那么我们说 $M$ 是 $N$ 的一个子流形。

可以看出，如果 $\varphi: M^m \rightarrow N^n$ 是一个浸入映射，那么 $m \leq n$ ；差值 $n - m$ 被称为浸入映射 $\varphi$ 的余维数。

例子

例一： 由 $\alpha(t) = (t, |t|)$ 定义的曲线 $\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ 在 $t=0$ 处不可微（图5）。

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例二如下图：由 $\alpha(t) = (t^3, t^2)$ 定义的曲线 $\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是一个可微映射，但不是一个浸入映射。实际上，在此情况下，映射成为浸入映射的条件等价于 $\alpha'(t) \neq 0$ ，而这在 $t = 0$ 时并不成立。

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命题设 $\varphi: M_1^n \rightarrow M_2^m$ ，其中 $n \leq m$ ，是可微流形 $M_1$ 到可微流形 $M_2$ 的一个浸入映射。对于 $M_1$ 中的每个点 $p$ ，存在一个 $p$ 的邻域 $V \subset M_1$ ，使得限制映射 $\varphi | V \rightarrow M_2$ 是一个嵌入映射。

二、黎曼几何[微分同胚，浸入，嵌入]

命题：切空间之间的线性映射

微分同胚

浸入【immersion】与嵌入

例子

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