1.来源

均值-方差模型（Mean-Variance Model）由美国经济学家哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年在《金融学刊》发表的论文《投资组合选择》中首次提出。这一理论后来成为现代金融学的基石，马科维茨也因此与威廉·夏普、默顿·米勒共同获得1990年诺贝尔经济学奖。

核心思想：投资者在构建投资组合时，不应只关注单个资产的预期收益，还应考虑资产之间的相关性。通过分散化投资，可以在不降低预期收益的前提下减少整体风险，或者在一定风险水平下获得更高的预期收益。

2.组合收益率

假设有 $N$ 个资产，其随机收益率分别为 $R_{1}、R_{2}、....、R_{N}$ ，对应的投资比例分别是 $w_{1}、w_{2}、...、w_{N}$ ，且 $w_{1}+w_{2}+...+w_{N}=1$

则组合收益率为：

$R_{p}=w_{1}R_{1} + w_{2}R_{2} + ... + w_{N}R_{N} = \sum _{i=1} ^{N} w_{i}R_{i}$

组合的预期收益率（期望收益率）为：

$E(R_{p})=E(w_{1}R_{1} + w_{2}R_{2} + ... + w_{N}R_{N})=E(w_{1}R_{1}) + ... +E(w_{N}R_{N})=w_{1}E(R_{1}) + ... + w_{2}E(R_{2})=\sum _{i=1} ^{N} w_{i}R_{i}$

3.组合方差

组合发方差为：

$Var(R_{p}) = E[(R_{p}-E(R_{P}))^{2}]$

$R_{p} - E(R_{p}) = w_{1}R_{1} + w_{2}R_{2} + ... + w_{N}R_{N} - (w_{1}E(R_{1}) + ... + w_{2}E(R_{2})) = w_{1}(R_{1} - E(R_{1})) + ... + w_{N}(R_{N} - E(R_{N}))=\sum _{i=1} ^{N} w_{i}(R_{i}-E(R_{i}))$

令 $w_{i}(R_{i} - E(R_{i}))=a_{i}$

则，

$(R_{p} - E(R_{p}))^{2} = (\sum _{i=1} ^{N} a_{i})^{2} = \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}a_{j}=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N} w_{i}w_{j}(R_{i} - E(R_{i})) (R_{j} - E(R_{j}))$

$Var(R_{p}) = E[(R_{p}-E(R_{P})^{2}] = E[\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N} w_{i}w_{j}(R_{i} - E(R_{i})) (R_{j} - E(R_{j}))]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N} w_{i}w_{j}E[(R_{i} - E(R_{i}))]E[(R_{j} - E(R_{j}))]$

当 $i=j$ 时， $E(R_{i}-E(R_{i}))E(R_{i}-E(R_{i}))=E[(R_{i}-E(R_{i}))^{2}]=Var(R_{i})$

当 $i\neq j$ 时， $E(R_{i}-E(R_{i}))E(R_{j}-E(R_{j}))=E[(R_{i}-E(R_{i}))(R_{j}-E(R_{j}))]=Cov(R_{i},R_{j})$

因此：

$Var(R_{p}) = \sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}Var_{R_{i}} + \sum _{i=1}^{N} \sum _{j \neq i}^{N} w_{i}w_{j}Cov(R_{i}, R_{j}) = W^{T} \Sigma W$

其中 $W={w_{i},...,w_{N}}$ 是权重向量

4.均值方差模型

求得一组权重，让组合的预期波动水平最小。

则优化函数为：

$\min _{w_{i}} Var(R_{p}) = W^{T} \Sigma W \\ s.t. R_{target} = \sum _{i=1} ^{N} w_{i}R_{i} \\ \sum _{i=1} ^{N} w_{i} = 1$

可以构造拉格朗日函数，求数值解。

5.使用途径

均值-方差模型广泛应用于金融投资与资产管理领域，主要使用方式包括：

资产配置优化。为养老金、基金、保险资金等大型机构投资者确定股票、债券、商品等大类资产的最优比例。个人投资者利用该模型构建“有效前沿”（Efficient Frontier），根据自身风险承受能力选择最佳组合。
投资组合绩效评价，估单位风险带来的超额收益。比较实际组合与有效前沿上的理论组合，判断投资管理能力。
风险管理与对冲。通过协方差矩阵分析资产之间的相关性，设计对冲策略（如利用负相关资产降低组合波动）。在给定风险预算（如VaR约束）下，反推各资产的权重。
量化策略与因子投资。作为多因子模型的基础框架，将因子视为“资产”，用均值-方差优化构建因子组合。
学术研究与教学。金融学、投资学课程的核心内容，用于讲解分散化、风险-收益权衡、资本市场线等概念。

6.意义

6.1 理论意义

开创了现代金融学的定量分析时代：第一次用严格的数学语言刻画了“风险”与“收益”的替代关系，奠定了资本资产定价模型（CAPM）、套利定价理论（APT）等后续理论的基础。

提出了“分散化是唯一的免费午餐”：证明了通过持有不完美正相关的资产，可以在不牺牲收益的前提下降低整体风险。

引入均值-方差有效性标准：为判断一个投资组合是否“最优”提供了可操作的数学准则。

6.2 实践意义

从经验投资转向科学投资：投资者不再依赖直觉或单一指标，而是基于历史数据和统计方法做出决策。

促进了指数基金与ETF的兴起：有效前沿的思想推动了被动投资策略，因为市场组合往往接近有效边界。

成为资产管理行业的标准工具：几乎所有专业资产管理公司都使用均值-方差模型或其变体进行资产配置。

6.3 局限与后续发展

对输入参数敏感：期望收益和协方差矩阵的估计误差可能导致优化结果不稳定。

假设收益率服从正态分布：实际金融数据常呈现厚尾、偏态，极端风险可能被低估。

静态单期框架：忽略了交易成本、税收、流动性约束以及多期动态决策。

后续改进：Black-Litterman模型（融合主观预期）、风险平价模型（关注风险贡献）、稳健优化（应对参数不确定性）等。

均值方差模型