量子力学（二）数学体系

量子力学系列第二篇：量子力学的基本假设，数学向。涉及泛函分析、谱理论。

一、数学概念：

算子就是线性空间到线性空间的映射。算子A的定义域记为D(A).

Hilbert空间就是完备的内积空间。以下简记为H.

H中的线性算子A是对称的，如果 $\langle\psi,A\phi\rangle=\langle A \psi,\phi\rangle, \forall \psi,\phi\in H$ .

H中的线性算子A是自伴的，如果 A 对称且 $D(A)=D(A*)$ ，即 $A=A*$ . 自伴是比对称更强的条件。

对称算子的性质：若A是对称算子，则 $\forall \psi \in D(A), \langle \psi,A\psi\rangle$ 是实的。

自伴算子的定理：谱定理。即，自伴线性算子有唯一的分解 $A=\int_{\sigma(A)}\lambda d\mu_\lambda$ .该定理用于处理算子的特征向量无正交基的情况。有如下推论：
1 给出广义的正交本征向量；2 存在概率分布 $\mu^A_\psi$ 使 $\int\lambda^md\mu_\psi^A(\lambda)=\langle\psi,A^m\psi\rangle,\forall m$

如果线性算子A是自伴的，且定义域是Hilbert全空间，则可证得它是有界算子。如果 $D(A)\neq H$ 且稠于H，则称A是稠定的，这时他可能是无界算子。

二、量子力学公理体系：

1. 每个系统对应一个可分无穷维的复Hilbert空间H，其中一元素 $\psi$ 完备的描述了系统的状态。
可分无穷维的H空间彼此等价。物理中我们常把H取为 $L^2(-\infty,+\infty)$ 或 $l^2$ ，因此把其中元素 $\psi$ 称为波函数/态矢量。

2. 每个可观测量 $\mathscr{A}$ 唯一的对应于一个H中的稠定的自伴算子A。

3. 若系统的态矢量为 $\psi$ ，则可观测量 $\mathscr{A}$ 的观测期望值为 $E(\mathscr{A})=\langle \psi,A\psi\rangle$ , 且 [ $E(\mathscr{A}^m)=\langle\psi,A^m\psi\rangle$ .

以一维空间单粒子为例。单粒子能在全空间的子集J被找到的概率为 $\int_{J} |\psi(q)|^2dq$ . 由于在全空间被找到的概率为1，因而 $||\psi||=1$ 。被找到的平均位置为 $E_\psi(q)=\int _{-\infty}^{+\infty} q |\psi(q)|^2dq$ 。不妨定义一个算子Q
$Q: D(Q)\to L^2(-\infty,+\infty)$
$\psi(q)\mapsto q\psi(q)$

于是均值可重新表述为 $E*\psi(Q)=\int_ {-\infty}^{+\infty} Q \psi(q)\bar{\psi(q)}dq=\langle\psi,Q\psi\rangle$ . 称Q为位置算符，是一个无界的自伴线性算子，定义域稠密于 $L^2(-\infty,+\infty)$ .

能被实验直接测量得到的物理量称为可观测量。对于其他可观测量，也都可以引入对应的自伴稠定算子T。均值为 $E_\psi(T)=\langle \psi,T\psi\rangle$ . 由对称算子的性质，可观测量的观测值均值为实数。

一般来说，可观测量的测量值不是确定的值。但假设3的后半句暗示了：系统处于可观测量A的本征态时，A的观测值是确定的。

proof：

$E(\mathscr{A}^m)=\langle\psi,A^m\psi\rangle=\lambda^m$ 不妨记概率分布函数为F，

则 $\int \mathscr{A}^mdF=\lambda^m,\forall m$

因此 $\mathscr{A}$ 的分布密度函数为 $\delta$ 函数，因此A的观测值是确定的。

同理可证，若A的本征向量有正交基 ${\psi_i}$ ，态矢量可分解为 $\psi=\sum a_i\psi_i$ ，则观测值为 $\lambda_i$ 的概率为 $|a_i|^2$

若本征向量不存在正交基怎么办？由谱定理，也可以得到可观测量的观测值分布。

4. 若一次观测后，对可观察量A的测量结果为 $\lambda$ ，则测量之后系统的态 $\psi’$ 应满足 $A\psi’=\lambda\psi’$
这条假设说明观测后态矢量会“坍缩”到观测值对应的本征态。

5. 态矢量A的时间演化方程由薛定谔方程决定。
时间演化算子 $U(t,t_0)$ 使得 $\psi(t)=U(t,t_0)\psi(t_0)$ .
经推导（Sakurai pg65），它满足 $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U=HU$ 。
于是解得 $U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$ 。这称为演化算子U的薛定谔方程。

对于一初态 $|a\rangle$ ，欲求的它演化后的 $|a,t\rangle=U(t,t_0)|a\rangle$ ，可设H的本征态和本征值，于是可求。

注1：物理书里，厄米算子是对称算子的意思，且不区分对称算子和定义更强的自伴算子。容易证明位置、动量等算符是对称的，但为了能应用谱定理，从而使本征向量完备，还需要算符是自伴的。不过当作这些算符都是自伴的就好，证明留给数学家吧

注2：量子力学的算子大多是无界算子，如位置算符、动量算符、哈密顿算符都是无界算子，所以和本科泛函分析讲的内容完美避开

参考书籍：

[1] Introductory functional analysis with applications. Erwin Kreyszig.

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator

[3] Modern quantum mechanics. Sakurai.

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