这里详细讲解 欧拉-拉格朗日方程推导 的推导。

1.微分

以微分为例：

微分

这里

{x_0}

为

{x}

中一个点，

\Delta x

也就是

dx

，而

\Delta y

就是

f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})

。
其中斜率(变化率，导数)

A=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = f'(x)

。
这里的假设是，当

\Delta x

也就是

dx

\to

0 时，

\Delta y \to dy

，因此

{x_0}

这一点的斜率 A，也就是导数

f'({x_0}) = {{dy} \over {dx}}

。
其中

\Delta y

定义为

\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)(\Delta x \to 0)

。

2.泛函

$F(y) = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {L(x,y,y')dx}$

基本概念：其中 $F(y)$ 可以看出是一个值，因此泛函可以看作为函数 $y(x)$ 到数值 $F(y)$ 的映射。假设 ${y_0}$ 是其中 $F$ 取极值时的一条曲线，而 $\varepsilon \eta (x)$ 可以看作微分里面的 $\Delta x$ (其中 $\varepsilon$ 是一个很小的数，其中 $\eta ({x_1}) = \eta ({x_2}) = 0$ )， ${y_0} + \varepsilon \eta (x)$ 可以看作微分里面的 ${x_0} + \Delta x$ 。这里可以将 $y(x)$ 和 ${\eta (x)}$ 看作已经确定的函数，这里就可以将 $F(y)$ 看作是关于 $\varepsilon$ 的函数。

1.偏导和全微分：

偏导
$z = f(x,y)$

${{\partial f} \over {\partial y}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}y \to 0} {{f(x,y + {\rm{\Delta }}y) - f(x,y)} \over {{\rm{\Delta }}y}}$

${{\partial f} \over {\partial x}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to 0} {{f(x,y + {\rm{\Delta }}x) - f(x,y)} \over {{\rm{\Delta }}x}}$

全微分
$dz = {{\partial f} \over {\partial x}}dx + {{\partial f} \over {\partial y}}dy$

$F(y) = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {L(x,y,y')dx}$

2.变分推导（欧拉-拉格朗日方程）

$A[\varepsilon ] = F(y) = F({y_0} + \varepsilon \eta (x))$

$=\int_{{x_1}}^{{x_2}} {L(x,{y_0} + \varepsilon \eta (x),{y_0}' + \varepsilon \eta '(x))dx}$

$\buildrel {y(x,\varepsilon ) = {y_0} + \varepsilon \eta } \over \longrightarrow \int_{{x_1}}^{{x_2}} {L(x,y(x,\varepsilon ),y'(x,\varepsilon ))dx}$

其中有
$y(x,\varepsilon ) = {y_0} + \varepsilon \eta$

${{\partial y} \over {\partial \varepsilon }} = \eta (x)$

$y'(x,\varepsilon ) = {d \over {dx}}y(x,\varepsilon ) = {d \over {dx}}({y_0} + \varepsilon \eta ) = {y_0} + \varepsilon \eta '$

因此有

${{dA} \over {d\varepsilon }} = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{dL} \over {d\varepsilon }}} dx$
这一步需要用到 ${L(x,y(x,\varepsilon ),y'(x,\varepsilon ))}$ 以及 链式求导法则
$= \left[ {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial x}}{{\partial x} \over {\partial \varepsilon }}} \right) + \left( {{{\partial L} \over {\partial y}}{{\partial y} \over {\partial x}}{{\partial x} \over {\partial \varepsilon }} + {{\partial L} \over {\partial y}}{{\partial y} \over {\partial \varepsilon }}} \right) + \left( {{{\partial L} \over {\partial y'}}{{\partial y'} \over {\partial x}}{{\partial x} \over {\partial \varepsilon }} + {{\partial L} \over {\partial y'}}{{\partial y'} \over {\partial \varepsilon }}} \right)} } \right]dx$
其中有
${{\partial x} \over {\partial \varepsilon }} = 0$

${{\partial y} \over {\partial \varepsilon }} = \eta (x)$

${{\partial y'} \over {\partial \varepsilon }} = {{\partial y'(x,\varepsilon )(x)} \over {\partial \varepsilon }} = {{\partial \left( {{y_0}' + \varepsilon \eta '(x)} \right)} \over {\partial \varepsilon }} = \eta '(x)$

因此
${{dA} \over {d\varepsilon }} = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial y}}{{\partial y} \over {\partial \varepsilon }} + {{\partial L} \over {\partial y'}}{{\partial y'} \over {\partial \varepsilon }}} \right)} dx$

$= \int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y}}\eta (x)} dx + \int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta '(x)} dx$
对上面右边式子进行 分部积分
$\int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta '(x)} dx = \left. {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta (x)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} - \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial y'}}} \right)'\eta (x)} dx$

$\left. {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta (x)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\buildrel {\eta ({x_2}) = \eta ({x_1}) = 0} \over \longrightarrow \left. {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta (x)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = 0$
从上面可以得到

$\int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta '(x)} dx = - \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial y'}}} \right)'\eta (x)} dx$

因此有
${{dA} \over {d\varepsilon }} = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y}}\eta (x)} dx + \int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y'}}\eta '(x)} dx$

$= \int_{{x_1}}^{{x_2}} {{{\partial L} \over {\partial y}}\eta (x)} dx - \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial y'}}} \right)'\eta (x)} dx$

$= \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {{{\partial L} \over {\partial y}}\eta (x) - \left( {{{\partial L} \over {\partial y'}}} \right)'\eta (x)} \right]} dx$

$= \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial y}} - {d \over {dx}}{{\partial L} \over {\partial y'}}} \right)} \eta (x)dx$
因为我们要求取 $A[\varepsilon ]$ 的最小值，因此有 ${{dA} \over {d\varepsilon }} = 0$ ，那么就有
${{dA} \over {d\varepsilon }} = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{{\partial L} \over {\partial y}} - {d \over {dx}}{{\partial L} \over {\partial y'}}} \right)} \eta (x)dx = 0$

最终得到： ${{\partial L} \over {\partial y}} - {d \over {dx}}{{\partial L} \over {\partial y'}} = 0$ 或者 $\eta (x) = 0$

$\eta (x) = 0$ 说明对 ${{y_0}}$ 无扰动时， $A$ 能取得极值，但它对 ${{y_0}}$ 的具体形式无任何帮助（因为我们想要求取 ${{y_0}}$ 的具体表达式，因此我们寄希望于在满足A取极值时获得一个关于 ${{y_0}}$ 的微分方程）；因此最优函数 ${{y_0}}$ 的具体形式由第一个解确定：
${{\partial L} \over {\partial y}} - {d \over {dx}}{{\partial L} \over {\partial y'}} = 0$
其中 $y = {y_0} + \varepsilon \eta (x)$ ， $y = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {y_0} + \varepsilon \eta (x) = {y_0}$

因此，我们可以通过上述的 欧拉-拉格朗日方程 求取变分。

泛函-变分法

泛函-变分法

1.微分

2.泛函

1.偏导和全微分：

2.变分推导（欧拉-拉格朗日方程）

相关阅读更多精彩内容

友情链接更多精彩内容