欧拉-拉格朗日方程，Eular-Lagrange equation，其数学意义不用多去讲了。在实际应用中，它对在动力学（特别是多体动力学和有限元的理论基础）分析中，得出系统的运动微分方程（组）进行分析有很大的价值。教科书和网络上关于这个方程的推导步骤和解释有很多，这里也写一下自己对推导过程的温习和理解。

极值的条件

先复习一下函数上的函数值处于极值的条件：

当函数值相对自变量的导数等于零时，即当自变量发生微小的变化（增加或减少）时，函数值仍不趋向发生改变，函数值处于极值，该点的自变量是产生函数极值的自变量。

函数的极值条件：导数等于0时

函数的英文是function，经常使用小写。泛函的英文是Functional，经常使用大写。接下来极值条件延申到泛函集合中当泛函值处于极值的条件：当对其中一个函数施加一个微小的扰动（变分）使函数发生微小的变化后，函数所映射的泛函值仍不趋向发生改变时，其所映射的泛函值处于极值，该函数是使泛函值处于极值的函数。联想到函数极值下函数导数的条件，泛函值在处于极值时其对函数的扰动量（变分）求导也等于零。即它是一个即使施加了小小的扰动后也不趋于改变泛函值的函数。

泛函的极值条件：泛函变分 / 函数变分 = 0

泛函的积分表达式

泛函值的表达式是一个函数的起点和终点的积分表达式，每一个泛函积分值中的微元值由源函数所决定，包括函数的自变量值、函数值（因变量值）、以及函数的导数构成。函数到泛函值的映射关系是比较灵活的，它不止取决于当前的函数值，也取决于函数的自变量值和导数值，因此它的表达式为：

泛函值的积分表达式，函数变分的积分表达式

经常拿来做例题的泛函值有两个。一个泛函值是函数曲线从起点到终点的长度，例题要去证明最短长度的函数是两点间的直线；另一个例题是一个小球沿着函数曲线从起点到终点落下所需的时间，例题要去证明耗时最短的函数是一条摆线（最速降线）。在第一个例子中，泛函微分值等于微小的“弧长”单元；第二个例子中，泛函微分值等于微小的“时长”单元（“弧长”单元除以因势能转化为动能后所求得的瞬时速度）

泛函表达式在极值条件下的逐项推导

通过偏微分公式可以得出，泛函值对函数变分值的导数如下：

泛函值变分的积分表达式，通过偏微分展开

看这个部分：（泛函值对函数值的偏微分）乘以（变分） + （泛函值对函数值导数的偏微分）乘以（变分的导数）。一个乘子是变分，另一个乘子是变分的导数，需要通过方法将乘子统一，以便于进行进一步推导。

后者等于 （（泛函值对函数值导数的偏微分）乘以变分）在两端点上的差值 减去（（泛函值对函数值导数的偏微分）的导数 ）乘以 （变分）

通过分步积分法统一乘子

因为两个端点是固定的，所以在两个端点处的变分为0，因此泛函对变分的导数为零的条件变为如下形式

泛函值变分的表达式

变分是一个趋于零的无穷小量，因此需要的关系式变为

极值条件下得出欧拉-拉格朗日方程

这便是欧拉-拉格朗日方程的表达式。也就是对函数使其泛函在处于极值下的要求。

公式能不能简单理解

感觉不太能。一开始想尝试好多思路去使用简单的比喻的方式，或者是直觉化的思路去理解这个公式，但想不太清楚。“两点之间直线最短”这种简单直觉所能理解的结论，直觉上好像不用去证明了，如果需要证明才能想清楚，那就不是直觉了。比如就尝试两点之间直线最短这个例子，想象起点是绳子的一端被钉子固定住，终点是一个位置固定的滑轮，当滑轮朝一个方向旋转时，绳子被“收紧”，绳子一部分的长度从AB两点之间收回终点的滑轮里，就像卷尺一样。朝另一个方向旋转时，绳子被“松弛”，藏在滑轮里的绳子被推出来。那么泛函是两点之间的绳子的长度，函数是绳子的形状。假设滑轮里有一个弹簧，就像卷尺一样，它趋向于减少绳子外露的长度。函数的变分，就好比我们用手去拨这个绳子让它产生形状的变化。泛函的变分，就是绳子形状变化的同时，绳子退回滑轮/伸出滑轮的长度。函数曲线的极值，就在绳子被拉直的时候，因为在那个时候去用手拨动绳子，就像琴弦一样，滑轮里绳子长度的变化趋向于不变。但是再往下就不好比喻了，因为这个比方里多了假设：绳子受到滑轮弹簧的力。目前还是没想到能直观理解拉格朗日方程的方法。

“两点之间直线最短”的泛函比喻

不过物理角度就容易一些，在最常见的保守系统中，物体的惯性力（质量乘以加速度）减去因势能差变化所产生的力等于零。

分析力学里的欧拉-拉格朗日方程

从数学到物理

为什么在保守体系的动力学运动微分方程中，拉格朗日量，也就是泛函值等于T-V

我这样理解：在保守体系中，物体在每一个时刻不是在增加动能减少势能的路上，就是在增加势能减少动能的路上。从而这个时间上微分值定义为动势能之差。因为动能和势能之间的转化关系，使得从起始时刻到最终时刻的泛函（作用量）处于最小值。

最后通过欧拉-拉格朗日公式可以得出运动微分方程的基本步骤：

1、获取系统总动能+总势能的表达式，得到拉格朗日量L=T-V的表达式；

2、将拉格朗日量通过欧拉-拉格朗日方程进行展开（对速度、加速度、位置求导），得出基于力、速度、加速度、位置的运动微分方程（组）；

3、如需分析系统的稳定性，对微分方程组进行转化可得到一个y'=Ay的特征矩阵乘以向量的方程。此时通过求解 Det(A)可得出特征矩阵的特征值lambda （当lambda<0时，系统趋于渐进稳定，当lambda>0时，系统趋于不稳定。当lambda中包括虚数部分时，系统在趋于稳定/稳定的总的趋势下存在震荡。一个系统会求解出不止一个特征值，每个特征值都会对应一个特征向量，通过特征值分析稳定性，并且通过特征向量得出稳定/不稳定的趋势方向）

关于欧拉-拉格朗日方程的推导和理解就先到这里。