二次型

一.二次型及矩阵表示

1.线性替换

定义:设 $\boldsymbol{x}_{1}, \cdots, x_{n} ; y_{1}, \cdots, y_{n}$ ，是两组文字，系数在数域P上有一组关系式X=PY,称为一个由X到Y的线性替换。如果|p|!=0,那么称此线性替换是非退化的。

2.二次型

二次型定义：含有n个变量且每一项都是二次的多项式， $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\cdots+2 a_{n-1 . n} x_{n-1} x_{n}$ ，称为数域P上的n元二次型。
二次型的矩阵表示， $\boldsymbol{X}=\left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right)$ ，
$\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12} & ...& a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22} & ...& a_{2n}&\\ ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ...& a_{nn}& \end{matrix} \right]$
$f(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ ,A就称为二次型的矩阵。二次型都是对称的。
二次型矩阵与二次型相互为一句顶

3.合同

数域P上n*n的矩阵A,B为合同的，如果数域P上可逆的矩阵C,使得B=C'AC.经过非退化线性变换，新的二次型矩阵与原二次型矩阵是合同的。
- 自反性
- 对称性
- 传递性

二.标准型

定理一：数域P上的二次型都可以经过非退化的线性替换成 $d_{1} x_{1}^{2}+d_{2} x_{2}^{2}+\cdots+d_{n} x_{x}^{2}$ 的形式（证明略）
定理二：数域P上任一个对称矩阵都合同一个对角矩阵。（可以将非零都集中在左上角，见定理一证明）
$\left[ \begin{matrix} d_1& & & & \\ & d_2 & & &\\ ... \\ & & & d_r&\\ &&&&0& \end{matrix} \right]$
其中r=R(A)，即系数不为零的平方项个数是唯一确定的。

三.唯一性

在一般数域内，二次型的标准型不是唯一的，而与做的非线性退化有关。

在复试域内

在复数域上的二次型都可以经过一系列非退化线性变换变成规范性且规范性是唯一的。
$\left[ \begin{matrix} 1& & & & \\ & 1 & & &\\ ... \\ & & & 1&\\ &&&&0& \end{matrix} \right]$
两个复数域上两个矩阵合同的充分必要条件是他们的秩相等。
在实数域内：

在实数域上的二次型都可以经过一系列非退化线性变换变成规范性且规范性是唯一的。

快照1.png

在实二次型的规范型中，正平方个数p称为正惯性指数，负平方个数称为负惯性指数，正惯性指数加负惯性指数等于r,

四.正定二次型

正定二次型定义：实二次型 $f(x_1,x_2,x_3...x_n)$ 是正定的，如果对任意一组不全为零的实数 $c_1,c_2,c_3...c_n$ 有 $f\left(c_{1}, c_{2}, ...,x_{n}\right)>0$ .
非线性变换保持正定性不变。
n元实二次型 $f(x_1,x_2,x_3...x_n)$ 正定的充分必要条件是它的正惯性指数为n.
一个实对称矩阵是正定的当且仅当与单位矩阵合同
实二次型 $f(x_1,x_2,x_3...x_n)$ 是正定的充分必要条件是二次型矩阵的顺序主子式全部大于0
分类：负定的、半正定的、半负定的、不定的
A半正定等价于
- 正惯性指数与秩相等
- 有可逆矩阵c使得c'Ac=
  $\left[ \begin{matrix} d_1\\ & d_2 \\ &&d_3\\ &&&.\\ &&&&&d_n \end{matrix} \right]$
  其中 $d_i>=0$
- 有实数矩阵C，使得A=C'C
- A的所有主子式都大于或等于0.

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