0. 涉及内容

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1. z变换

z变换可以与拉普拉斯变换并行的学习，对于连续时间傅里叶变换的推广导出拉普拉斯变换，那么对于离散时间傅里叶变换的推广就导出了z变换。

对于一个具有单位脉冲响应为 $h[n]$ 的LTI系统，当输入为 $x[n]$ 时，输出为

$y[n] = h[n] * x[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} h[k] \cdot x[n-k]$

输入 $x[n] = z^n$ 时，输出

$y[n] = h[n] * x[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} h[k] \cdot z^{n-k} = z^{n} \cdot \sum_{k = -\infty}^{+\infty} h[k] \cdot z^{-k} = H(z) z^n$

$z^n$ 称为LTI系统的本征函数， $H(z)$ 被称为本征值。

将 $H(z)$ 推广开，可以对任何离散时间信号进行这样的变换，就得到了离散时间信号的z变换，

$X(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n}$

$x[n]$ 和 $X(z)$ 之间的关系可以简记为

$x[n] \quad {\xleftrightarrow{Z}} \quad X(z)$

其中z变量用极坐标形式表示， $z = re^{j \omega}$ ，用 $r$ 表示z的模， $\omega$ 表示z的相角。

将 $z = re^{j \omega}$ 代入z变换的定义式，

$X(re^{j \omega}) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n] {(re^{j \omega})}^{-n} = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n] r^{-n} e^{-j \omega n} = F\{ x[n]r^{-n} \}$

也就是说， $x[n]$ 的z变换就是 $x[n]r^{-n}$ 的傅里叶变换。特别的是，当 $r=1$ 时， $x[n]$ 的z变换就等于 $x[n]$ 的傅里叶变换。

与拉普拉斯变换的s平面表示类似，z变换有z平面表示，如下图所示，

z平面

回想一下，在我们学习拉普拉斯变换时，用的是直角坐标表示复数 $s$ 变量，即 $s=\sigma + j \omega$ ，那么虚轴 $j \omega$ 上的拉普拉斯变换就等于傅里叶变换。与此对应的是，在离散时间z变换中，用的是极坐标表示复数z变量，即 $z = re^{j \omega}$ ，当 $r=1$ 时z变换等于傅里叶变换，而 $r=1$ 在z平面上对应的是一个半径为1圆心在原点的圆，称为单位圆，正是上图中所标出的那个圆。

对于z变换，与拉普莱斯变换类似，有一部分z值可以使得z变换收敛，而另外一部分使得z变换不收敛。比方说

$x[n] = a^{n}u[n]$

$X(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} a^{n}u[n] z^{-n} = \sum_{n = 0}^{+\infty} (az^{-1})^{n}$

上面式子可以看出， $x[n]$ 的z变换是一个无限长等比数列求和，根据求和公式，当 $\vert az^{-1} \vert < 1$ 时，这个无限长等比数列是可和的，不是无穷大，

$X(z) = \frac{1}{1-az^{-1}}, \quad \vert z \vert > a$

这个例子可以看到，对于符合 $\vert z \vert > a$ 的z值， $X(z)$ 是收敛的，而不满足这一条件的z值会使得 $X(z)$ 不收敛。因此z变换的表述必须是代数式和收敛域同时写出。

与拉普拉斯变换类似，当 $X(z)$ 的收敛域(ROC)包含单位圆时，傅里叶变换也收敛。

2. z变换的收敛域

性质1： $X(z)$ 的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
性质2：收敛域内不包含任何极点。
性质3：如果 $x[n]$ 是有限长序列，那么收敛域就是整个z平面，可能除去 $z=0$ 和/或 $z=\infty$ 。
性质4：如果 $x[n]$ 是一个右边序列，并且 $\vert z \vert = r_0$ 的圆位于收敛域内，那么 $\vert z \vert > r_0$ 的全部有限z值都一定在收敛域内。
性质5：如果 $x[n]$ 是一个左边序列，并且 $\vert z \vert = r_0$ 的圆位于收敛域内，那么满足 $0 < \vert z \vert < r_0$ 的全部z值都一定在收敛域内。
性质6：如果 $x[n]$ 是一个双边序列，并且 $\vert z \vert = r_0$ 的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含 $\vert z \vert = r_0$ 这一圆环的环状区域。
性质7：如果 $x[n]$ 的z变换 $X(z)$ 是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。
性质8：如果 $x[n]$ 的z变换 $X(z)$ 是有理的，并且 $x[n]$ 是一个右边序列，那么其收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，也就是半径等于 $X(z)$ 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 $x[n]$ 是因果序列，那么收敛域也包含 $z=\infty$ 。
性质9：如果 $x[n]$ 的z变换 $X(z)$ 是有理的，并且 $x[n]$ 是一个左边序列，那么其收敛域就位于z平面内最里层非零极点的里边，也就是半径等于 $X(z)$ 极点中除去 $z=0$ 外最小模值的圆的里边，可能包括 $z=0$ 。若 $x[n]$ 是反因果序列，那么收敛域也包含 $z=0$ 。