应用题

一、商品利润

  • 利润 = 售价 - 进价
  • 利润 = 利润率 * 进价
  • 利润率 = \frac{利润}{进价}*100%
  • 售价 = 进价 *(1+利润率 )

1.将利润看作是变化量,进价相当于是原值,售价相当于现值
2.利润率可以看作变化率;售价>进价为利润率;售价<进价为亏损率
3..打折问题: 打n折 此时的基准量为原定售价、订价
4.总利润=单件利润x销量(件数)(适用于单一商品)
=总收入(销售额)-总支出(总成本)
=总盈利-总亏损
5.列表法的场景:存在多个变量,且基准量未知,假设基准量和列表求解

售价相同,利润率 = 亏损率,最后亏损
进价相同,利润率 = 亏损率,最后不赚不亏。

二、路程问题

当v为定值,S1:S2 = t1:t2
当t为定值,S1:S2 = v1:v2
当s为定值,v1:v2 = t2:t1

S = v1·t1 = v2·t2
t1 = \frac{S}{v1}
t2 = \frac{S}{v2}
t1-t2 = \frac{S}{v1} - \frac{S}{v2}
t1-t2 = \frac{S(v2-v1)}{v1·v2}
∆t= \frac{S∆v}{v1·v2}
v1·v2 = \frac{S}{∆t}·∆v

直线相遇公式:S相遇 = S1+S2 = v1·t + v2·t = (v1+v2)·t
直线追击公式:S追击 = S1 - S2 = v1·t - v2·t = (v1-v2)·t

计算平均速度:
往返路程相同:平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 调和平均值:\overline{V} = \frac{2S}{\frac{S}{V_1}+\frac{S}{V_2}} = \frac{2V_1V_2}{V_1+V_2}
往返时间相同:算术平均值

当速度差值超过2倍,相遇问题会变成追击问题

同起点环形相遇模型

在同一点出发,同一点相遇:圈数比 = 速度比(相遇次数)
在同一点出发,圈数比 = 速度比。
S甲:S乙= N甲:N乙 = (V甲:V乙)
n

N圈数,n相遇次数

三、水中行船问题

船顺流时的速度:V顺 = V船+V水
船逆流时的速度:V逆 = V船-V水

多个物体水中运动,若符合相遇追击模型,则相遇时间、追击时间与水速无关
相遇:t=\frac{S}{(V甲+V水)+(V乙-V水)} = \frac{S}{(V甲+V乙)}
追击:t=\frac{S}{(V甲+V水)-(V乙-V水)} = \frac{S}{(V甲-V乙)}

四、相对速度

1.相向运动

相对速度 : v = v1+v2

2.同向运动

相对速度:v = v1 - v2

单位换算:1m/s = 3.6km/h

发车间隔时间:t=\frac{S}{V} = \frac{2·t1·t2}{t1+t2} = \frac{2}{\frac{1}{t1}+\frac{1}{t2}}

火车过桥时间:t = \frac{l车+l桥}{v}

3.圆圈路程

同向同起点
设周长为s,
相遇时的等量关系:S甲 - S乙 = S(经历相同时间)
甲乙每相遇一次,甲比乙多跑一圈,若相遇n次,则:S甲 - S乙 = n· S
此时时间为定值,有:\frac{V甲}{V乙} = \frac{S甲}{S乙} = \frac{S乙+n· s}{S乙} = 1+ \frac{n· s}{S乙}

反向同起点:
相遇时的等量关系:S甲+S乙=S
每相遇一次,甲与乙路程之和为一圈,若相遇 n次有 S甲 + S乙 = n· S
此时时间为定值,有:\frac{V甲}{V乙} = \frac{S甲}{S乙} = \frac{n· s - S乙}{S乙} = \frac{n· s}{S乙} - 1

开放型指数坑数要+1 n = L/间隔 +1

五、图像路程

1.v-s图

匀速运动.png
变速运动.png
变速运动.png

斜率:1/t

2.s-t图

A的速度大于B.png

斜率:v

A的速度小于B.png

斜率:1/v

减速运动.png
加速运动.png

3.v-t图

image.png
image.png
image.png

vt图中围起来的面积就是路程。

六、工程问题

工作效率 = \frac{工作量}{工作时间}
工作量 = 工作效率 * 工作时间
工作时间 = \frac{工作量}{工作效率}
总效率 = 各效率的代数和

七、交叉比例

image.png

先上下列出甲、乙的数值,分别与整体的值进行相减,这样就可以得出甲、乙的数量比.

八、溶液浓度

溶液=溶质+溶剂
浓度 = \frac{溶质}{溶液}*100\% = \frac{溶质}{溶质+溶剂} *100\%
溶质=溶液*浓度
溶剂=溶液*(1-浓度)
含水量 = \frac{溶剂}{溶液}*100\%

1.等量置换

对于用溶剂等量置换溶液问题,可以记住结论:
设体积为v升溶液,倒出m升补等量的水,则浓度为原来的 \frac{v-m}{v}

九、至多至少

1.第一抽屉原理:

  • 原理1:把多于n个物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉的物体不少于两个
  • 原理2:把多于m*n个物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1个物体

2.第二抽屉原理

n个物体放入m个抽屉中,其中必有一个抽屉中至少有k个物体
当n不能被m整除时, k = [\frac{n}{m}]+1;
当n能被m整除时,k = \frac{n}{m}

比如:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成3个整数的和,那么就有以下4种情况:
4=4+0+0=3+1+0=2+2+0=2+1+1.
观察这4种放物体的方式会发现:
总有一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.

抽屉原理的关键:构造物体和抽屉,然后平均分配.

3.平均原理

核心公式:合格题目总数量=合格人x合格平均答对题数+不合格人x不合格平均答对题数

十、最值问题

1.二次函数最值

二次函数在对称轴处取到最值:
对称轴 = \begin{cases} x=-\frac{b}{2a}\\ f(x1) =f(x2)=0 & x=\frac{x1+x2}{2}\\ f(a+t)=f(a-t) & x=a\\ \end{cases}

2.均值定理

算术平均值 ≥ 几何平均值
三要素:

  • 一正:元素是正数
  • 二定:元素的和或者乘积是定值;
    如果乘积是定值,和有最小值;
    如果和是定值,乘积有最大值
  • 三相等:取等条件
    a+b≥2\sqrt{ab};当且仅当a=b时有最值
    ab≤(\frac{a+b}{2})^{2}

十一、集合问题

1.两个集合问题

A∪B = A+B- A∩B = Ω- \overline{A}∩\overline{B}
A∪B = 只A+只B+ A∩B
A∪B = A+B - A∩B

2.三个集合问题

A∪B∪C = A+B + C - (A∩B+B∩C+A∩C)+ A∩B∩C = Ω- \overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}
A∪B∪C = 只A + 只B + 只C + 只A∩B + 只A∩C + 只B∩C + A∩B∩C
A∪B∪C = A + B + C -( 只A∩B + 只A∩C + 只B∩C) - 2(A∩B∩C)
A∪B∪C = A∪B + 只C = A∪C + 只B = B∪C + 只A
A+B+C = Ⅰ+ 2Ⅱ + 3 Ⅲ
A∪B∪C = Ⅰ + Ⅱ + Ⅲ
Ⅰ:只在一个集合中
Ⅱ:在两个集合中
Ⅲ:在3个集合中

image.png

对角线铺砖问题:

边长n为偶数时,对角线占的砖数为2n块
边长n为奇数时,对角线占的砖数为2n-1块

比赛模型场数问题

  • 单循环比赛:每两队只比1场,若有n队,则总场数为C_n^2
  • 双循环比赛:每两队比赛两场,若有n队,则总场数为C_n^2·2!
  • 淘汰赛:每个队只参加一场比赛,若有n队,则总场数为n-1
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