高等数学(二)导数与微分

（一）导数与微分的概念

1、导数的概念

定义1
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}
定义2
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x_{0} \rightarrow 0} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
定理1 可导⇌左右导数存在且相等

2、微分的概念

定义3 若当△x→0时
\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right) \Rightarrow \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)
可写成上面的形式，则称f(x)在点x0处可微，称A△x为微分，记作d y=A \Delta x

定理2 函数y=f(x)在点0处可微的充分必要条件为y=f(x)在点x0处可导，且有d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_{0}\right) d x

3、导数与微分的几何意义

  • 导数的几何意义：导数f'(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
  • 微分的几何意义：微分d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x在几何上表示曲线y=f(x)的切线上的增量

4、连续，可导，可微的关系

  • 可导→连续
  • 可导⇌可微
  • 可微→连续

f(x)在x0处可导→f(x)在x0处连续（对）
f(x)在x0处可导→f'(x)在x0处连续（错）
f(x)在x0处可导→\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)存在（错）

f(x)n阶可导→洛必达法则用到n-1阶导数
f(x)n阶连续可导→洛必达法则用到n阶导数

（二）导数公式及求导法则

1、基本初等函数的导数公式

只列举出几个

\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a
\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\ln a}
(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}
(\tan \theta)^{\prime}=\sec ^{2} \theta
(\cot \theta)^{\prime}=-\csc ^{2} \theta
(\sec \theta)^{\prime}=\sec \theta \tan \theta
(\csc \theta)^{\prime}=-\csc \theta \cot \theta
(\arccos \theta)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}
(\arcsin \theta)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}
(\arctan \theta)^{\prime}=\frac{1}{1+\theta^{2}}
(\operatorname{arccot} \theta)^{\prime}=-\frac{1}{1+\theta^{2}}

2、求导法则

  • 有理运算法则
  • 复合函数求导法
  • 隐函数求导法
  • 反函数的导数
    若y=f(x)可导，且f'(x)≠0，则其反函数x=φ(y)也可导，且\varphi^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}
  • 参数方程求导法
    设y=y(x)是由\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\Phi(t)\end{array}\right.确定的函数，若\varphi(t) \Phi(t)都可导，则\frac{d y}{d x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(\mathrm{t})}
  • 对数求导法

（三）高阶导数

1、定义

y^{(n)}=\left[f^{(n-1)}(x)\right]^{\prime}
若函数f(x)在x处n阶可导，则在点x的某领域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数

2、常用的高阶导数公式

(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)
(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)
(\mu v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \mu^{(k)} v^{(n-k)}

3、相关变化率

求解方法：

  • 建立相关率与变量之间的关系
  • 方程两边同时对t求导
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