一、第一章
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给定一个乘法表（数独）一定对应一个群吗？
不是。如下图
image.png 是否可以由一个元素构造出无限阶的幂序列群
。
不确定，可能如果a的阶是无穷就可以吧。-
给出
的定义
image.png 证明两个子群交集还是一个子群，但并集不一定是子群。
证封闭和存在逆即可。{e,a}和{e,b}的并集不是子群。证H是G的一个有限子群的充要条件是
。
充分性是显然的。必要性证封闭和有逆即可。可否有GL(3,R)属于GL(4,R)存在？
在同构的意义下存在。GL(3,R)同构与GL(4,R)的矩阵（分为3×3和1×1的块），而这些矩阵是GL(4,R)的子群。无限循环群是否有无限真子群？
有。全体偶数次幂的。证群G的中心（跟其他所有元素都对易的元素集合）是一个子群。
封闭和逆。证群G中和某元素f对易的所有元素集合也是一个子群。
封闭和逆。证明指标为2的子群是不变的。
因为左陪集等于右陪集。对一个群G做子群H的陪集分解{H,aH,bH,...}，问是否一定能从每个陪集中抽出一个元素使其构成子群。
不一定。如D3群就可以，但是四阶循环群C4就不可以。证如果一个映射保乘的话，一定是单位元对应单位元，逆对应逆。
先证单位元对应单位元，再证逆。证两个子群G1、G2的直积群是群G的一个子群。跟群是两个子群的直积有何不同。
封闭和逆。G1和G2不一定是不变的，也就没有商群的同构关系，但还是可交换且共同元素只有单位元。B(G)是否是群G在子空间W的表示？荷载的B(G)基是什么？
不是。因为子空间W不是G不变的。Abel群可以存在2D不可分表示吗？
可以。如[1,x;0,1]阶为素数的群都是循环群？
对。如何判断表示等价和可约？
等价：按定义，等价找出可逆矩阵；按舒尔引理，如果找到非0矩阵M；按特征标。
可约：按定义，找出矩阵S；按舒尔引理；特征标。非一维的正则表示一定可约。
直积群类的个数等于其因子群类的个数的乘积。
用个逆作用到群元上去，再用对易关系得到。如何给出一个群的子群？
从循环群可以构造出。但非循环群则不知道。Abel群的所有子群都是不变子群？
对。
