【初中数学】第二十一章一元二次方程

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

大纲梳理

1 一元二次方程

概念：整式，一个未知数，最高次数是2
一般形式：
$ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$
解，根

2 解一元二次方程

直接开平方
$形如 \quad (x+n)^2 = p (m \neq 0, p \ge 0) \quad 的方程的 \\ 解为 x_1 = -n+\sqrt p, x_2 =-n-\sqrt p$
配方法
通过配完全平方形式来解一元二次方程
$把形如ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)的一元二次方程 \\ 变形成 (x+n)^2 = p(m \neq 0) \\ ax^2 + bx + c = 0 \\ ax^2 + bx = -c\\ x^2 + \frac {b} {a}x = -\frac {c} {a}\\ x^2 + 2 \frac {b} {2a}x = -\frac {c} {a}\\ x^2 + 2 \frac {b} {2a}x + (\frac {b} {2a})^2 = -\frac {c} {a} + (\frac {b} {2a})^2 \\ (x + \frac {b} {2a})^2 = \frac {b^2 - 4ac} {4a^2} \\$
公式法
由配方法提炼得到（接着上面讨论）
$(记b^2 - 4ac为 \Delta) \\ 当 \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 时，该方程有解 \\ x + \frac {b} {2a} = \pm \frac {\sqrt {b^2-4ac}} {2a} \\ x = \frac { -b \pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a} \\ 也可记为 \quad x = \frac { -b \pm \sqrt {\Delta}} {2a} \qquad (\Delta = b^2 - 4ac) \\$
这个式子叫做一元二次方程的求根公式
判别式
因式分解-十字交叉法
$把形如ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)的一元二次方程 \\ 通过因式分解变形成 \quad a(x-m)(x-n) = 0 \\ 则解为 x_1 = m, x_2 = n$
根与系数的关系——韦达定理
$ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)的一元二次方程的两根为 x_1, x_2 \\ 则其可以写成 a(x-x_1)(x-x_2) = 0 \\ 该形式可以化为 a(x^2-(x_1 + x_2)x+x_1x_2) = 0 \\ 原形式可以化为 a(x^2 + \frac b a x + \frac c a) = 0 \\ 对照可得 \quad x_1 + x_2 = - \frac b a, x_1x_2 = \frac c a \\$

思想补充

选择适当的方法解方程
换元法
活用韦达定理

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1 一元二次方程

2 解一元二次方程

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