Section 1 初等几何
初等几何因何被称为初等？因为其中所有问题均有足够的工具，以相对系统的方式解决掉。
回顾初高中，平面三角学，为何是初等的？
首先，三角形的刚性很强，三个数(a,b,c)作为边长，即可定出其同构类，自由度相对较小。
其次，从三角形出发的一切直线型的典范构造，内外重垂旁心，Block点、Fermat点、等力点、构造虽多，但使用基本定理，其均可以完全用三角形的基本量——边长abc，角度ABC刻画。
又，由余弦定理，使得ABC的三角函数值可以完全由的一些根式扩张表出，从而一切命题均回到最初的三个参数abc上去。又注意到，三元组abc定义了一个三角形iff \sym a+b>c.这是三个非代数条件，不构成生成关系，换句话说abc是“几乎自由”的三个变量。
由abc的几乎自由性，凡对一切三角形恒真的命题，均对应一个包含abc三个字符的形式恒等式。
而三角形的另一组变元ABC则不是如此，如果把某个命题归结为sinA，SinB等等恒等式，那么就要准备好面临无穷无尽的三角恒等变形，原因就是sinA，sinB，sinC，cosA，cosB,cosC...这些角度量并不是“几乎自由”，其中存在大量生成关系。
另一方面，外蕴的讲，平面几何可以用坐标函数x(p),y(p)做到完全解析化。
Section 2 现代几何
现代几何的研究对象进阶为流形，流形和三角形可以类比吗？我想需要拆解一番。
三角学的实质是研究R^2的一类子空间，而流形呢？如果采用内蕴观点，流形应当和R^2是对应的，作为全空间；而如果采用嵌入的观点，流形则确实是R^n的一类子空间。
关于流形，我们的构造太多了，同调群，上同调环，同伦群，betti数，euler数，相交形式，符号差，K群，度量、切丛余切丛，联络、曲率...从一个几何对象构造出如此多的量，它们必然不可能是完全自由的。一些指标定理和公式则是在提示这些构造之间的生成关系，这里的量不再局限于数型的，而是有群型的、上同调类型的、矩阵型的、张量型的等等；生成关系也不再局限于代数的，我们可以谈论同调类的配对，积分与微分，....
Riemann-Roch，Atiyah-Singer等等大定理，实质上是揭示了流形上不同构造的生成关系。回顾平面三角学，我们任何一个关于三角形的构造F，都可以完全写出F=F(a,b,c)，a，b，c几乎自由，换句话说，我们完全研究清楚了所有三角形的同构类的模空间结构；而流形则不是，我们没有办法找到一组基元(x,y,z)..，每个数组唯一对应到一个流形的同构类，且使得每个关于流形M的构造G，都能写成G(x,y,z..)的形式；退而求其次，我们需要对于不同的典范构造，去寻求生成关系，这正是Riemann-Roch，Atiyah-Singer等等大定理的实质。
现代几何学的最终梦想，应当是找到流形的模空间，并构造泛类型演算结构，使得任何一个跟流形有关的构造，无论数型、群型、二次型型、微分形式型...均由这个泛类型的量演算出来。
