The St. Petersburg Paradox
投掷公平的硬币。掷出反面，没有奖金，继续投掷；掷出正面，得奖金，游戏结束。第一次投掷时掷出正面得1元，第二次时掷出得2元，第三次时得4元，第四次时得8元，以此类推，第n次时得到的金额为2n-1次方。游戏参与者为一局游戏机会应当支付多少钱？
奖金的期望值为1×1/2+2×1/4+4×1/8+8×1/16……=n/2
由于不限定n的上限，n/2为无穷大。所以游戏者应该最多愿意为一局游戏机会支付无穷大金额的钱。但实际上恐怕很少有游戏者愿意支付超过几十元。
这个悖论得名于丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的分析，他曾是圣彼得堡的居民，并在《圣彼得堡帝国科学院评论》上发表了他的观点。然而，这个问题是丹尼尔的表弟尼古拉斯·伯努利（Nicolas Bernoulli）发明的。
这一悖论的经典解决方法包括明确引入效用函数、预期效用假设和货币边际效用递减的假设。
丹尼尔·伯努利认为，“确定一件物品的价值不应以价格为基础，而应以其产生的效用为基础……毫无疑问，获得一千金币对穷人来说比富人更重要，尽管两者都获得同样多的钱。”他提出的一个效用模型是对数函数u(w)=ln(w)。它是赌徒总财富w的函数，其中包含了金钱边际效用递减的概念。预期效用假设假定存在一个效用函数，它为现实中的决策提供了一个标准。例如，一个百万富翁应该愿意支付高达20.88美元，一个拥有1，000美元的人应该支付高达10.95美元，一个拥有2美元的人应该借1.35美元并支付高达3.35美元。
尼古拉斯·伯努利提出了解决这一悖论的另一种想法。他推测人们会忽视不太可能发生的事情。而在圣彼得堡悖论中，只有不太可能的事件才能产生导致无限预期价值的高额奖金。
破解
首先，这是一个由于无穷而导致的悖论。
由于圣彼得堡悖论的推理假设了游戏参与者可能投掷无穷大次数，从而最高获得无穷大金额的奖金，并得出了游戏期望收益无穷大的错误结论。然而，这些都是错误的假设。无穷大并不存在于现实世界中。无论游戏参与者可以玩的局数，还是每局游戏投掷次数，以及奖金金额都不可能是无穷大的。而基于现实中存在无穷大的错误假设得出的期望值是有误导性的。
其次，它错误地假设了游戏参与者的决策依据是数学期望值的大小。这个假设不能成立。游戏参与者的决策应当基于决策的结果对于满足其本人的需要的作用，也就是效用，而非基于金钱的数学期望值。这个游戏的规则使得获得大金额的奖金的概率显著降低。为了排除无穷大的影响，我们稍稍改变游戏规则，假设每局游戏最多投掷22亿次，第22亿次不论正反都视作正面。那么游戏的奖金期望值为11亿元。但恐怕没有人愿意花11亿元玩一局这个游戏。因为11亿约等于2的40次方，也就是连续掷出约40次反面才够本，这样的小概率事件实际上难以发生。玩家几乎没有可能赢钱，尽管他一旦赢钱的话，就可以赢得许多钱。所以，抛弃决策的错误假设就能避免悖论。明智决策是指基于效用作出的决策。理性决策是指合逻辑的决策。假如一个人的目标是获得最大的数学期望值的金钱，那么他最高花11亿参加这个游戏的决策是理性的。但如果这个决策对他自己而言不是效用最大化的，那么他的决策就不是明智的。
