2.1引子
我们知道圆的面积公式是：
用多边形渐进推导：
在圆内做内接正多边形，多边形边数越多所围成面积越接近于圆的真实面积。设n为多边形边数，圆面积就是n->∞时多边形的面积。
多边形边数是正整数，以上案例体现了数列极限的思维，而数列极限是函数极限x->∞的特例。
几何理解：从几何上讲，f(x)在x->∞极限为A意义为：直线y=A为y=f(x)的水平渐近线。
2.2极限存在定义
定义1：对函数f(x)，x->∞极限存在充分必要条件是x->+∞ 和x->-∞极限存在并且相等。
定义2：对函数f(x)，x->x0极限存在充分必要条件是x->x0+和x->x0-极限存在并且相等。
注意：函数在某点x0是否存在极限，与在x0是否有定义或者取值都无关。可能在x0有定义但无极限，也可能无定义但有极限。
如上图f(0)=-1，但f(x)在x->0的极限为0。
定义3：夹逼定理。常用于数列极限求解。
定义4：单调有界数列必有极限。注：有界数列不一定有极限，有界+单调才可以。
2.3函数和数列极限的性质
函数极限性质：
①唯一性；
②局部有界性；
③局部保号性；
函数极限性质：
数列极限性质：数列极限是函数x->+∞特殊情况。
- 如果数列收敛，那么极限唯一。
- 如果数列收敛，那么数列有界。
- 数列收敛的保号性。
- 如果数列收敛于a，那么它的任一子列也收敛于a。
2.5极限求解
2.5.1利用基本极限公式求解
2.5.2利用极限有理运算求解
（1）如果limf(x)存在，c为常数，则limcf(x)=climf(x)。
（2）如果limf(x)存在，n为正整数，则limf(x)n=[limf(x)]n。
（3）数列极限四则运算：
（4）有理多项式极限运算：
2.5.3利用等价无穷小代换求极限
2.5.4利用无穷小四则运算
（1）有限个无穷小和是无穷小。
（2）有界函数与无穷小乘积是无穷小。
（3）有限个无穷小乘积是无穷小。无穷小与无穷小的商要看分子分母谁趋于“零”快慢程度——无穷小的阶。
一个重要无穷大：
无穷小阶的性质：
2.5.5利用洛必达法则求解
2.5.6利用泰勒公式求解
2.5.7利用夹逼定理求解——通常用于数列极限
2.5.8利用单调有界性求极限
单调递减有下界——极限为下界
单调递增有上界——极限为上界
