量子光学入门4-电磁场的量子态

前面把电磁场的物理量用算符描述，现在考虑把电磁场的状态用态矢量来描述。也就是说，用某个态矢量能够代表某个场的状态，电磁场在这个态的平均值则可以表示为算符在态矢量的平均值。

一、单模场的量子态

1 光子数态(下面在一维情况下讨论，如果是三维 $a^+a$ 是矢量)

1.1 单模电磁场的只有一个频率分量有贡献，哈密顿量为

$H=\hbar\omega (a^+a+\frac{1}{2})=\hbar\omega (n+\frac{1}{2})$

由于H与n对易，它们有共同的本征态，能够同时具有确定的值。

由于

$[a,a^+]=1$

可以推出算符n的本征方程为

$n |n>=n|n>$ , n=0,1,2,...

哈密顿量在该态中的本征值为

$\hbar \omega (n+\frac{1}{2})$

由于一个光子的能量为 $\hbar \omega$ , 于是该态中可以看做含有n个光子（加上零点能），于是把n成为光子数算符，|n>成为光子数态，在该态中电磁场具有确定的能量。

由于 $a,a^+$ 满足下列关系

$a|n>=\sqrt{n} |n-1>$

$a^+|n>=\sqrt{n+1}|n+1>$

$|n>=\frac{(a^+)^n}{\sqrt{n!}}|0>$

有前面n赋予的光子数的含义，这里的 $a,a^+$ 赋予其光子湮灭算符和光子产生算符的含义。

假设存在某个电磁场的状态就是光子数态|n>，那么在该态中的电磁场的平均值为

$<E>==0$

$<E^2>==2(E^s)^2\sin^2(kz)(n+\frac{1}{2})$

也就是说，如果真实世界存在这个态，那么这个态的电场是一种均值为0，对于这个我是这么理解的，光子数态并不是电场算符的本征态，那么如果将光子数态用电场算符的本征值展开的话，展开系数的模方表示电场在这个态下取某个值的概率，如果此时画出其概率分布曲线，那么将是一种偶函数的分布。这种正负对称分布使得电场均值为0。不过对于真空态，方差不为0，此时的涨落成为真空涨落。

光子数态随时间演化

$|n(t)>=e^{-\frac{i}{\hbar}H}|n>=e^{-\frac{i}{\hbar}E_n}|n>$

此时光子数态只是多了个无关紧要的相位因子，也就是还是处于这个态。

1.2 电磁场正交分量算符

由于算符a对应一个展开系数，往往是一个复数，引入它的实部和虚部。

$X_1=\frac{1}{2}(a+a^+)$

$X_2=\frac{1}{2i}(a-a^+)$

（用这个算符描述电磁场和 $a,a^+$ 没有什么差异，不过此时 $X_1,X_2$ 为实数，用起来挺方便）

$H=\hbar\omega (X_1^2+X_2^2)$ (能否定义算符 $X^2_1+X_2^2$ ，此时用这个算符表示光子数，那么将消去零点能)

$E(z,t)=2E^s\sin(kz)[X_1\cos(\omega t)+X_2 \sin(\omega t) ]$

可以看出，不过是将傅里叶级数的表示形式换了一种，这时候需要用这两个展开系数来表示电磁场。

$[X_1,X_2]=\frac{i}{2}$ ,两个分量不对易说明两个分量不能同时具有确定的值（这说明了电场在任意态都不能具有确定值吗？）

在光子数态中

$<X_1>==0$ ，（电场E的均值都为0了，两个分量也应该为0）

$V(X_1)=V(X_2)=\frac{1}{4}(2n+1)$

真空态中是正交分量的最小不确定度态。

$\Delta X_1=\frac{1}{2}$ , $\Delta X_2=\frac{1}{2}$ , $\Delta X_1\Delta X_2=\frac{1}{4}$ ，（真空态中电场两分量的分布最集中，此时的电场也有比较确定的值？）

2 相干态

——相干态是最接近经典的一个态，电磁场算符，坐标动量算符满足最小不确定度关系。当α模趋于∞时，电磁场相对不确定度为0，光子数相对不确定度(振幅)和相位不确定度为0，趋于经典。

1.1 相干态是光子湮灭算符的本征态

$a|\alpha >=\alpha |\alpha >$

相干态可以通过真空态平移产生

$D(\alpha )=e^{\alpha a^+-\alpha ^*a}$ （由于 $D(\alpha )|\beta>=e^{iIm(\alpha \beta ^*)}|\alpha +\beta >$ ,所以称为平移算符）

$|\alpha >=D(\alpha )|0>$ （真空态既是光子数算符的基态，也是湮灭算符的本征态）

相干态的平均光子数，光子数方差，光子数分布

$V(n)=\bar{n}=|\alpha|^2$

$p_n=e^{-\bar{n}}\frac{\bar{n}^n}{n!}$ （泊松分布，此时Mandel Q参数为0）

相干态在光子数态展开

$|\alpha >=e^{-\frac{1}2|\alpha |^2}\sum_n \frac{\alpha ^n}{\sqrt{n!}}|n>$

相干态是超完备（不正交，对角元含有更多的信息）的

$\frac{1}{\pi}\int d^2\alpha |\alpha > （其中<img class=$ 表示在复数平面做面积分，等于 $rdrd\theta$ 或 $dxdy$ ）

1.2 相干态中电磁场正交分量

$<X_1>=\frac{1}{2}（\alpha +\alpha ^*）$

$<X_2>=\frac{1}{2i}（\alpha- \alpha ^*）$ （可见正交分量在相干态中的平均值为其实部和虚部，电磁场处在某个正交分量为X1，X2的态，可以说处于实部为X1，虚部为X2的相干态？）

$\Delta X_1=\frac{1}2$ , $\Delta X_2=\frac{1}2$ , $\Delta X_1\Delta X_2=\frac{1}4$ (相干态的涨落跟真空态一样)

相干态中电场的平均值

$<E(z,t)>=2E^s\sin(kz)|\alpha |\cos(\omega t+\varphi )$ （其中 $\varphi$ 是 $\alpha$ 的相位角，可以看出，在相干态中测出电场的振动跟经典情况下十分类似，所以从这个方面说相干态是最接近经典场的一种状态。相干态 $\alpha$ 看做电场的复振幅，其模表示电场强度，其相位表示电场振动的初相。那么 $\sqrt{<X_1>^2+^2}$ 表示电场的振幅平均， $\arctan(\frac{<X_1>}{})$ 表示电场的相位角平均，涨落圆中中心点表示所处的相干态）

相干态中电场的方差为

$V(E(z,t))=(E^s)^2\sin ^2(kz)$ （为恒定的常数，跟真空态的涨落是一样的）

1.3 其他讨论

处于相干态时的哈密顿量为

$|\alpha (t)>=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}|\alpha >=e^{-\frac{i}{2}\omega }e^{-i\omega a^+a }|\alpha >=?$

3 压缩态

——压缩态是一种正交分量的最小不确定度态，但是其分量可以小于真空态或相干态的标准偏差。

1.1 压缩态的定义

$|\xi >=S(\xi)|0>$ （为算符 $(\mu a+\nu a^+)$ 的本征态）

$S(\xi)=e^{\frac{1}2(\xi^*a^2-\xi(a^+)^2)}$ （为压缩算符，参量 $\xi=re^{i\theta }$ 为压缩参量，r为压缩幅， $\theta$ 为压缩角）

压缩态平均光子数，光子数方差，光子数分布

$\bar{n}=\sinh^2r=|\nu|^2$ （ $\nu =e^{i\theta }\sinh r$ ）

$V(n)=2\sinh^2r\cosh^2r=2|\nu|^2 \mu ^2=2\bar{n}(1+\bar{n})$ （为超泊松分布，非经典分布，只能探测到偶数个光子就很非经典了）

$|\xi>=\frac{1}{\sqrt{\mu }}\sum_m(\frac{-\nu }{2\mu })^m\frac{\sqrt{(2m!)}}{m!}|2m>$ （压缩态中只能探测到偶数个光子）

$p_{2m}=\frac{1}{\mu }(\frac{|\nu| }{2\mu })^{2m}\frac{(2m)!}{m!}^2$ （光子概率分布）

正交算符的平均值和方差

$<X_1>==0$ （反映出电场在这种态下平均值为0）

$V（X_1）=\frac{1}{4}(2\sinh^2r+1-2\sinh r\cosh r\cos\theta )$

$V（X_2）=\frac{1}{4}(2\sinh^2r+1+2\sinh r\cosh r\cos\theta )$

$\Delta (X_1)\Delta (X_2)=\frac{1}{4}$ ？（可见压缩态仍是最小不确定度态）

当 $\theta =0,\pi$ 时，分别对应 $X_1,X_2$ 方向压缩， $X_2,X_1$ 展宽，幅度为 $e^{\pm r}$ 。

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