【原创：东瑾橙】
我是一名211大学的数学专业本科生，在我从小到大学习的过程中，我发现这样一个问题：国内的大学数学教材似乎都过于注重科学性和严谨性，书中的内容有些晦涩难懂，如果让一个热爱数学但是还没有什么数学基础的小朋友来读，或者让对数学不怎么感兴趣的人来读，是很难厘清其中的逻辑的；而国外的教材虽然内容上稍微通俗了一点，但限于语言风格、篇幅、书名的影响，普通人还是很难接触到。我在上初中第一次接触到大学教材时就曾想过，如果能出现一些科普性质的读物，能够把这些大学的内容讲得中小学生也能听懂，那该有多好啊。直到现在，我真的成为了一名数学专业的大学生，我决定自己去实践我儿时的想法，在自己的学习过程中，就当做是整理笔记，就当做是“费曼学习法”，一点一点把我的所学转化成通俗易懂的语言。
话不多说，直入正题。我最想说也是最有感触的，其实是数学分析。用一个比喻来说，如果把数学本身比喻成是建房子，那么小学我们学的是准备砖块、水泥，还有打地基，我们学习的是数字最基本的运算（加减乘除），以及建房子最基本的图纸（简单图形）；到了初中，我们学习的是砌墙和打地基，让房子的结构（方程、几何证明）初步形成；到了高中，我们是在做精装修和内部设计，让房子功能齐全、美观大方，给房子装上可以观察外面世界的窗户。以上这些，通俗地称之为“初等数学”，乍一看似乎都没有脱离“建房子”这件事情。但是大学数学呢？它研究的是建筑学本身，它不只是去建一座房子，而是要学习各种建筑风格（数学分支）、建筑材料与力学原理（数学理论），甚至去设计全新的、前所未见的未来建筑（数学研究）。而数学分析无疑是其中最核心的部分。这也很容易解释为什么大学数学给我们一种“我买菜用得到吗？”的错觉。正如我们去开一辆汽车，我们不必了解汽车的发动机的详细构造，我们只需要有一本驾照就可以。但是对于造车的人来说，了解发动机的构造却至关重要。在数学分析中，我们研究的就是类似于“发动机构造”这样的数学本质的问题。
想象一下，你是一个极其挑剔的工匠，想要打造一张世界上最光滑的桌子。普通数学就是在教你怎么测量桌子有多长、有多宽，而数学分析则是教你：怎样把这张桌子打磨得绝对光滑？每一次摩擦之后，这个桌子究竟发生了什么变化？简单来说，数学分析就是用一种“无限”和“精确”的眼光，去研究事物的“变化”和“精细结构”。
第一部分：数学分析的核心思想——0.99999……=1。
数学分析的核心思想其实可以总结为两个字：极限。而什么是极限呢？我们可以用两个故事来帮助大家理解极限的含义。
第一个就是著名的阿基里斯的故事。
传说古希腊有个飞毛腿叫阿基里斯，他跑得飞快。但他为什么追不上一只在他前面慢慢爬的乌龟呢？有人是这么说的：阿基里斯要追上乌龟，他必须先跑到乌龟的出发点。当他跑到那个点时，乌龟已经往前爬了一小段。他再追到那个新点，乌龟又爬了一小段……这样看来，阿基里斯每次都要先到达乌龟的“上一个点”，而乌龟总是在他前面，所以他永远追不上。
这个说法在逻辑上听起来是没问题的，但现实中我们都知道，阿基里斯一眨眼就可以追上乌龟。那问题出在哪里呢？其实，问题就是出现在“永远”这个词上。
数学分析会告诉你，没错，阿基里斯确实会经过这样一个一个小段，而且确实是无限的。但是，这无数个越来越小的小段加起来的时间却不是无限的，无论这样的小段有多少个，他们最终加起来的数值都是一个有限的值！阿基里斯超过乌龟的那一瞬间，就是这个有限值！
如果用数学的方式来举个例子的话，我们可以假设阿基里斯9秒跑10米，乌龟9秒跑1米，我们假设阿基里斯距离乌龟有一米。此时阿基里斯跑到乌龟的位置，需要花0.9秒，但在这0.9秒里，乌龟又向前跑了0.1米。阿基里斯如果需要跑到乌龟现在所在的位置，那就需要0.09秒，但是在这0.09秒里，乌龟又向前跑了0.01米……这样无限地追下去，我们会发现，阿基里斯追上乌龟所花的时间是多少呢？是0.99999……秒。这个数字有什么特点呢？这样无限的加下去，我们不难发现，这个数字在无限地逼近1，但是永远到不了1。到这里其实我们就已经可以发现，阿基里斯在1秒后就可以追上乌龟了。而由我们所学的知识，0.99999……=1，其实阿基里斯追上乌龟的时间恰好是1秒。
如果没有数学分析，恐怕几千年来都没法给阿基里斯正名，这位跑步英雄也将一直蒙羞于追不上乌龟的耻辱之中。
第二个故事，我想讲一个有关孙悟空的故事。
太白金星给了孙悟空一个袋子，说里面有10颗糖，要孙悟空在一分钟以内把它们拿出来，这不难，孙悟空一下就想出来了，每6秒往外拿一颗就好了；太白金星又给了他一个袋子，说里面有一万颗糖，要他一分钟之内把它们拿出来，这也不难，孙悟空想，动作快一点就好了；可第三次，太白金星拿出来这个袋子，硬说里面有无数颗糖，要孙悟空在一分钟之内把它们拿出来，这可难坏了孙悟空，这可如何是好？
后来，红孩儿给孙悟空出了个主意：你花0.9分钟取第一颗糖，0.09分钟去第二颗糖，0.009分钟取第三颗糖……这样越来越快地取下去，所花的时间是0.99999……分钟，恰好是1分钟。这两个故事，都提到了一个非常反直觉的结论，那就是0.99999……=1。问题出在哪里呢？其实，就在后面这个省略号。我们总觉得这两者之间差了一点点点点，但是省略号内的9是无穷无尽的，这就是极限，它将无限地逼近1，并且最终到达那个精确的值“1”。
第二部分：数学分析在研究什么？
其实，数学分析的两大核心内容，就是微分与积分。简单来说微分就像是把馒头、面条等各形各色的面食拆分成面粉这种一样的东西，而积分就是把这些面粉重新再做成馒头、面条等。
其实，用我们身边的现象来举例，似乎更加容易理解。比如，为什么古人和小孩子感觉不到地球是圆的呢？其实我们也感觉不到，在我们的视野中，地球是平的，甚至我们从北京跑到上海，如此遥远的跨度，也并不能让我们感受到有在曲面上跨越的感觉。这其实体现了微分的思想。为什么我们感觉不到“曲”呢？因为地球太大了，大到我们的视野中，地球几乎是一个完完全全的平面。这也就启示我们：在一个球面上选取很小很小的一块区域，这一块区域可以看做是平面。这就是微分，是不是很简单？
那什么是导数呢？
我们坐车去一个地方的时候，通过花的时间和行驶的路程，我们可以算出来我们的平均速度。但是，这个速度和我们车上的速度表上的速度，在很多时候都是不一样的。因为车子是时快时慢的，等红灯的时候速度为0，在高速公路上速度可以达到120公里每小时。通俗来说，汽车速度表上的速度，也称为瞬时速度，这就是导数。可以理解为把整个路程无限细分，取其中极小的一段路程，算出来的这一段极小路程的平均速度。
那什么是积分呢？
我们小的时候一定都玩过积木，单是一堆积木，根本看不出是什么形状，但是如果我们把这一堆积木拼成城堡，我们就知道原来这堆积木里藏着一个城堡。积分也差不多，只不过我们拼的不是积木块，我们拼的是微分出来的一小块一小块无限细分的图形。一个不规则的图形，通过我们上面的分析，经过无限细分（也就是微分），可以分割成规则的图形，那我们把这规则图形的面积算出来，再加起来，不就得到了这个不规则图形的面积吗？这就是积分的一个应用。类比出去，我们几乎可以算出一切不规则的东西了。
以上这些内容只是对数学分析最通俗的解释，实际上的数学分析比这要复杂很多，但是也逃不出这几样东西。后续我会慢慢分解数学分析的内容，尽可能使其通俗易懂，尽可能让更多人了解，“买菜用不到”的数学，到底是什么样的。
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