谢惠民数学分析习题课讲义下册13.1.2 思考题参考答案

谢惠民数学分析习题课讲义参考答案001
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谢惠民数学分析习题课讲义参考答案004
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案下册13.1.2
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.2.5

谢惠民数学分析习题课讲义13.1.2 思考题参考答案

  1. 记Archilles每次到达乌龟出发点所需时间为a_n,则有a_{n+1} = a_n \cdot \dfrac{0.1}{10} = 10^{-2} a_n,a_1 = 100.Archilles赶上乌龟所需时间为
    \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=\dfrac{100}{1-10^{-2}}=\dfrac{10000}{99}

    1. 若\sum a_n与\sum b_n均收敛

      • 由极限四则运算知\sum (a_n + b_n)收敛
      • \sum a_nb_n不一定收敛,如a_n = b_n = \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
      • \sum \dfrac{a_n}{b_n}不一定收敛,如a_n = \dfrac{1}{n^{2}},b_n = \dfrac{1}{n^{3}}

    2. 若\sum a_n与\sum b_n均发散

      • \sum (a_n + b_n)不一定发散,如a_{n}=n, b_{n}=\mp n
      • \sum a_nb_n不一定发散,如a_n = b_n = \dfrac{1}{n}
      • \sum \dfrac{a_n}{b_n}不一定发散,如a_n = 1, b_n = n^{2}

    3. 若\sum a_n与\sum b_n均为正项级数且收敛

      • 结论不变
      • \sum a_nb_n收敛,因为级数收敛通项必有界,设a_n < M,则\sum a_nb_n <M\sum b_n 由比较判别法知 \sum a_nb_n 收敛
      • 结论不变

    4. 若\sum a_n与\sum b_n均为正项级数且发散

      • \sum (a_n + b_n)发散.因为\sum (a_n + b_n)>\sum a_n \rightarrow +\infty \sum (a_n - b_n)不一定发散,如 a_n = b_n = n
      • 结论不变
      • 结论不变

  3. 对于\sum a_n与\sum b_n均为正项级数

    1. \sum a_n与\sum b_n均收敛

      • \sum \min \{a_n,b_n \}收敛,这是因为\min \{a_n,b_n \} \leqslant a_n
      • \sum \max \left\{a_n,b_n \right\}收敛,这是因为\max \{a_n,b_n \} < a_n + b_n

    2. \sum a_n与\sum b_n均发散

      • \sum \min \{a_n,b_n \}不一定发散,如
        a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{n^{2}}, n=2 k-1 \\ n, n=2 k \end{array}\right.
        b_{n}=\left\{\begin{array}{l} n, n=2 k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2 k \end{array}\right.
      • \sum \max\{a_n,b_n \}发散.因为\max \{a_{n}, b_{n} \} \geqslant a_{n}

      若\sum a_{n}与\sum b_{n}为一般级数

      1. \sum a_n与\sum b_n均收敛

        • \sum \min \{a_n,b_n \}不一定收敛,如a_n = \dfrac{(-1)^{n}}{n} = -b_n
        • \sum \max\{a_n,b_n \}不一定收敛,反例同上

      2. \sum a_n 与 \sum b_n均发散

        • \sum \min \{a_n,b_n \}不一定发散,返利不变
        • \sum \max\{a_n,b_n \}不一定发散,如
          a_{n}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{n^{2}} , n=2 k-1 \\ -n, n=2 k \end{array}\right.
          b_{n}=\left\{\begin{array}{l} -n, n=2 k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2 k \end{array}\right.

  4. 若\sum (a_n + a_{n+1})收敛,无法推出\sum a_n收敛,如取a_{n} = (-1)^{n}.若\sum a_n是正项级数,则可由\sum a_n \leqslant \sum (a_{n} +a_{n+1})知\sum a_n收敛.

  5. 只有当原级数收敛时,加括号才不改变原级数的收敛性.易证S是发散的,因此不可以随意添括号.对于该级数的Cesaro求和参见本章第二组参考题第20题(1).

  6. 注意到
    \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=0
    故原级数收敛\Leftrightarrow \lim\limits _{n \to \infty} a_n = 0

  7. 无法推出\sum a_n收敛,如取调和级数\sum a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}

  8. 若\sum\limits_{n =1}^{\infty}a_n与\sum\limits_{n =1}^{\infty}b_n收敛,则\sum\limits_{n =1}^{\infty}c_n也收敛,这是因为
    0 \leqslant c_{n}-a_{n} \leqslant b_{n}-a_{n} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n}-a_{n}\right)<+\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}<+\infty
    但是若\sum\limits_{n =1}^{\infty}a_n和\sum\limits_{n =1}^{\infty}b_n发散,则无法推出\sum\limits_{n =1}^{\infty}c_n也发散,如a_n = -1,b_n = 1, c_n = 0

  9. 记原级数部分和为S_n,新级数部分和为T_n,注意到T_{2n} = S_{2n} \to S与T_{2n+1} = S_{2n} + a_{2n+2} \to S,因此T_n也收敛.

  10. 因为\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n收敛,故余项R_n \to 0.如果始终存在a_N不为0,则可推出始终存在R_N \geqslant 1,矛盾.因此从某项开始a_n都为0,即\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n是有限和.

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