谢惠民数学分析习题课讲义参考答案001
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案002
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案003
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案004
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.1.2
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.2.5

2.1.5练习题

按定义求极限

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{2}}{n^{2}-4}=3$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin n}{n}=0$

$\lim _{n \rightarrow \infty}(1+n)^{\frac{1}{n}}=1$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n !} = 0 \quad(a>0)$

解答

$\forall \varepsilon>0,$ 取 $N= \max \left\{\left[\frac{4}{\varepsilon}+2\right], 3\right\},$ 則当 $n>N$ 时有 $\left|\frac{3 n^{2}}{n^{2}-4}-3\right|=\left|\frac{4}{n^{2}-4}\right| \leqslant\left|\frac{4}{n-2}\right|<\varepsilon$

$\forall \varepsilon>0,$ 由于 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0$ ，故存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时 $\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon$ ，那么当 $n>N$ 时就有 $\left|\frac{\sin n}{n}\right|<\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon$

$\forall \varepsilon>0,$ 取 $N=\left[\frac{8}{\varepsilon^{2}}\right],$ 由均值不等式有 $(1+n)^{\frac{1}{n}} \leqslant \frac{2 \sqrt{1+n}+n-2}{n} \leqslant 1+2 \sqrt{\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}} \leqslant 1+2 \sqrt{\frac{2}{n}}$ 故当 $n>N$ 时有 $\left|(1+n)^{\frac{1}{n}}-1\right| \leqslant 2 \sqrt{\frac{2}{n}}<\varepsilon$

若 $a=0,$ 结论显然, 设 $a \neq 0, k=[|a|+1],$ 有 $\left|\frac{a^{n}}{n !}-0\right|=\frac{|a|^{n}}{n !} = \frac{|a| \cdot|a| \cdots|a| \cdots|a|}{1 \cdot 2 \cdots k \cdots n} \leqslant K \frac{|a|}{n}$ 其中 $K=\frac{|a| \cdot|a| \cdots|a|}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ，故对任给的 $\varepsilon>0,$ 取 $N=\max \left\{k, \frac{K|a|}{\varepsilon}\right\}$ 只要 $n>N$ 就有 $\left|\frac{a^{n}}{n !}-0\right| \leqslant K \frac{|a|}{n}<\varepsilon$

设 $a_{n} \geqslant 0, n \in \mathbf {N}_{+},$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $a,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ 。

解答

$\forall \varepsilon>0,$ 若 $a=0$ 則 $\exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N, \sqrt{a_{n}}<\sqrt{\varepsilon^{2}}=\varepsilon .$ 若 $a \neq 0,$ 对 $\varepsilon_{0} = \sqrt{a} \varepsilon, \exists N \in \mathbb{N},$ 当 $n>N$ 时 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon_{0},$ 此时亦有 $\left|\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a}\right|=\left|\frac{a_{n}-a}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a}}\right|<\frac{\varepsilon_{0}}{\sqrt{a}}=\varepsilon$

若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=|a| .$ 反之如何?

解答

利用三角不等式易知正确.反之不可，例如 $a_{n}=(-1)^{n}$

下面一组题在本章的许多极限计算中有用

设 $p(x)$ 是 $x$ 的多项式. 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} p\left(a_{n}\right)=p(a) ;$

设 $b>0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} b^{a_{n}}=b^{a}$ ;

设 $b>0,\left\{a_{n}\right\}$ 为正数列， $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, a>0,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \log _{b} a_{n}=\log _{b} a$ ;

设 $b$ 为实数, $\left\{a_{n}\right\}$ 为正数列, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, a>0,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{b}=a^{b} ;$

设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a,$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_{n}=\sin a$ .

谢惠民数学分析习题课讲义参考答案004

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2.1.5练习题

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