谢惠民数学分析习题课讲义参考答案003

谢惠民数学分析习题课讲义参考答案001
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案002
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案003
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案004
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.1.2
谢惠民数学分析习题课讲义参考答案13.2.5

1.4习题

数集 $A$ 有上界
数集 $A$ 的最小值是 $b$
$f$ 是区间 $(a,b)$ 上的单调增加函数
$f$ 是区间 $(a,b)$ 上的单调函数
$A \subset B$
$A - B \neq \varnothing$
数列 $\{x_n\}$ 是无穷小量
数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量

$\forall M \in \mathbb{R}, \exists x \in A, x>M$

$\exists x \in A, x < b$

$\exists x_{1}, x_{2} \in(a, b), x_{1}<x_{2}, f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$

$\exists x_{1}, x_{2} \in(a, b), x_{1}<x_{2}, f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) \text { 且存在 } x_{3}, x_{4} \in(a, b), x_{3}<x_{4}, f\left(x_{3}\right)>f\left(x_{4}\right)$

$\exists x \in A, x \notin B$

$\forall x \in A, x \in B$

$\exists \varepsilon>0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n>N,\left|x_{n}\right| \geqslant \varepsilon$

$\exists M>0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n>N, x_{n} < M$

2.1.2 思考题

数列收敛等价定义

数列 $\{a_n \}$ 收敛于 $a \Longleftrightarrow \forall \varepsilon> 0$ , $\exists N \in \mathbb{N}_{+}, \forall n \geqslant N$ ,成立 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon ;$

数列 $\{a_n \}$ 收敛于 $a \Longleftrightarrow \forall m \in \mathbb{N}_{+}$ , $\exists N \in \mathbb{N}_{+}$ , $\forall n > N$ , 成立 $\left|a_{n}-a\right| < \frac{1}{m}$

数列 $\{a_n \}$ 收敛于 $a \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}, \forall n>N$ , 成立 $\left|a_{n}-a\right|<K \varepsilon$ ,其中 $K$ 是一个与 $\varepsilon$ 和 $n$ 无关的正常数。
试证明以上定义与上一小节列出的定义的等价性

解答:

将 $N$ 取成 $N+1$ 即可

让 $m$ 足够大，使得 $\frac{1}{m} < \varepsilon$ 即可。

取 $\varepsilon_0 = K\varepsilon$ 即可。

问：在数列收敛的定义中， $N$ 是否是 $\varepsilon$ 的函数?

不是，因为一个 $\varepsilon$ 可以对应无数个 $N$

判断正确与否:若 $\{a_n\}$ 收敛，则有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0 \text { 和 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$

前者正确，后者错误。反例取 $a_n = 0$

设收敛数列 $\{an\}$ 的每一项都是整数，问：该数列有什么特殊性质?

从某项之后为常数列

问：收敛数列是否一定是单调数列?无穷小量是否一定是单调数列?

不一定。反例 $a_{n}=(-1 / 2)^{n}$

问：一个很小很小的量，例如取1m为单位长度时，几个纳米大小的量是否是无穷小量?

不是。如果对 $\forall \varepsilon > 0,\exists N \in \mathbb{N}$ ，只要 $n \geqslant N$ 就有 $\mid a_n \mid < \varepsilon$ ,那么当 $n \rightarrow +\infty$ 时， $a_n$ 是无穷小量。

问：正无穷大数列是否一定单调增加?无界数列是否一定是无穷大量?

都不一定.前者反例 $1,1^{2}, 2,2^{2}, \cdots, n, n^{2}, \cdots$ ,后者反例 $1,2,1,3, \cdots, 1, n, \cdots$

问：如果数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ ,那么绝对值 $|a_n-a|$ 是否随着 $n$ 的增加而单调减少趋于 $0$ ?

不是。反例取 $a_{n}=\frac{(-1)^{n}+n}{n-2}, a_{n}$ 收敛于 $1$ ，但 $\left |a_{n}-1 \right| = \frac{(-1)^{n}+2}{n-2}$ 非单调减少。

判断正确与否：非负数列的极限是非负数，正数列的极限是正数.

前者由数列极限的保号性可知成立，后者可取反例 $a_n = \frac{1}{n}$

最后编辑于：2021.08.14 10:10:12

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1.4习题

2.1.2 思考题

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