复函数论的基础

高斯还引入单复变函数的一些基本概念，1811年他针对贝塞尔关于对数积分的论文，指出必须将复数积分限考虑进去，当上限为a+bi时积分的意义是假设x取小增量，将x=0到x=a+bi的所有Φ(x)dx加起来，但在复平面上从x的一个值到另一个值的连续过程发生在一条曲线上，所以可以通过许多条路径，他断言即使通过的路径不同，只要两条路径所围的空间内Φ(x)是单值且非无穷，积分只有一个值。他还断言如果Φ(x)无穷，那么积分可以有许多值，取决于所取闭路径围绕Φ(x)变为无穷点的一次、二次或多次。

然后他回到dx/x积分的特殊情形，说如果从x=1出发走到某个值a+bi，如果不包围x=0，就得出积分的唯一值，如果包围x=0，就必须对从x=1到a+bi不包围x=0的路径所得值±2πi，这样对于一个已给的a+bi有许多对数。

1820年泊松讨论了沿复平面路径所取的复函数积分的用处，对，他令x=e^(iθ)，θ由(2n+1)π变到0，将积分作为一个和数的极限处理得到值-(2n+1)πi，他指出一个积分沿一条虚路径和沿实路径的值不一定相同。泊松是第一个沿复平面上路径进行积分的人。

不过高斯和泊松没有根据这些重要观察发表关于复函数理论的重要论文，这个理论是由柯西（1789-1857）建立的。他1805年进入多科工艺学校学习工程，由于他身体很差，拉格朗日和拉普拉斯劝他搞数学。他是保皇党和波旁家族的支持者，1830年七月革命后拒绝效忠新君主，并辞去了多科工艺学校的教职，来到都灵教授拉丁文和意大利文。1838年他回到巴黎，在几个教会机构任教，1848年新政府放弃了效忠誓言，于是柯西主持了巴黎大学理学院的数学天文学讲座，后来1852年拿破仑三世恢复了誓言，他允许柯西拒绝宣誓，但柯西把他的薪金捐给了索镇（他之前住过的地方）的穷人。他是一个令人钦佩的教授和伟大的数学家。

柯西兴趣广泛，他熟悉诗歌，写过一本关于希伯来作诗法的著作，写了七百多篇数学论文，仅次于欧拉。他的全集在现在有26卷，包含数学的所有分支，在力学方面他研究了关于杠杆和弹性膜的平衡、关于弹性介质中的波等内容，在光学方面他研究了菲涅尔波理论及光的散射和极化，他大大发展了行列式的理论，建立了常微分方程、偏微分方程的一些基本定理。

在复函数理论方面，柯西的第一篇重要论文是1814年在巴黎科学院宣读但1827年才出版的《关于定积分理论的报告》，出版时他增加了两个注释，反映了1814-1825年高斯工作对其理论的可能影响。他受欧拉1759年起和拉普拉斯1782年起计算定积分方法的影响，致力于严密化该方法由实到复的过渡。但论文本身没有处理方法的严密化问题，而是处理流体力学研究中出现的二重积分更换积分次序问题。1770年欧拉曾说，积分号下每个变量的限彼此无关时，可以发生次序更换，拉普拉斯表示同意，并屡次使用这一事实。

柯西处理了关系式,其中x0,y0,X,Y都是常数，当f(x,y)在区域内部及边界上连续时，积分次序更换成立，然后他引进了两个函数V(x,y)与S(x,y)使，柯西把左边的f换成V对y的偏导，右边的f换成S对x的偏导，于是有，同理可以把左边f换成S对y的偏导，右边换成-V对x的偏导，这些等式可以在任一次序下计算二重积分的值，不过它们不涉及复函数。当柯西声称严格直接建立由实到虚过渡时，他想的是V,S对x,y的偏导关系式，他说这两个式子包含了由实到虚过渡的全部理论，很难看出复函数理论怎样被包括在内，他也没有把复函数作为基本实体。

1821年他在《分析教程》中说是三个符号式，不能按常规解释，也不代表实的东西，他说第一与第二式的乘积等于第三式不具有什么意义，为了使方程有意义，必须令实部与根号-1的系数相等，虚方程只是实量间的两个方程的符号表示，可以使用实量的运算法则对复式进行运算。在本书中他处理了复数和复变数，其中u、v是一个实变数的函数，未考虑复变数的复值函数。

1822年柯西前进了几步，对F(z)=F(x+iy)=S+iV做了一个陈述，得到沿一个长方形边界的复积分法（简单情形下的柯西积分定理），该结果可以表示为,即积分与路径无关。1825年柯西写了另一篇论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》，但直到1874年才发表，这篇被视为柯西最重要的论文，并且在科学史上最瑰丽的一篇，虽然在一段时间内柯西本人都没意识到它的价值。在这篇文章中他又考虑将常数和变数用复值代替的方法计算实积分，对他证明如果令x=Φ(t),y=ψ(t)，t是实的，那么结果与Φ，ψ的选择无关，即在两条不同路径之间没有f(z)的间断点时，积分结果与路径无关，将对矩形成立的结果普遍化。

柯西正式叙述定理如下：若f(x+iy)对x0≤x≤X和y0≤y≤Y有穷且连续，那么积分值与函数x=φ(t)和y=ψ(t)的形式无关。他用变分法证明这一定理，考虑另一条路径φ(t)+εu(t),ψ(t)+εv(t)，证明积分对ε的第一变分为零，这个证明不能令人满意。在其中他用了f(z)导数的存在性和连续性，但在叙述定理时未做任何假定，因为他相信一个连续函数总是可微，而导数只在函数不连续的地方才不连续，他和18世纪、19世纪初的人一样把函数理解为一个解析表达式，导数可以通过惯用的形式微分法则得出。

1825年时柯西对一个重要概念有了一定认识，他考虑f(z)在矩形内部或边界上不连续时，沿着两条不同路径的积分值可能不同。如果z1=a+ib处f(z)为无穷，但极限存在，即在z1处f有一个单极点，那么积分的差是。

柯西在《数学练习》中把F称为积分留数，当一个函数在两条积分路径所围成的区域内有几个极点时，必须取留数之和来得到沿着两条路径的积分之差。在讨论留数的章节中，他的两条路径仍构成矩形，但边长为无穷，把所有留数包含在内。该书中柯西指出f(z)在z1的留数也是f(z)展为z-z1的幂级数展开式中项(z-z1)^(-1)的系数，1841年柯西给出了在一个极点的留数的新表达式：，其中积分路径是一个包含z=z1的小圆。留数的概念和发展是柯西的重要贡献，目前他给出结果的直接应用都是计算定积分的值。