8、图像重建

1、投影重建概述

1.1、投影重建方式

1、投射断层成像
在投射断层成像（TCT简称CT）系统中，从发射源射出的射线穿透物体到达接收器。射线在通过物体时被物体吸收一部分，余下部分被接收器接受。由于物体各部分对射线的吸收程度不同，所以接受器获得的射线强度实际上反应了物体各部分对射线的吸收情况。
如果 $I_0$ 代表射线源的强度， $k(s)$ 代表在沿射线方向物体点 $s$ 的线性衰减系数/因子， $L$ 代表辐射的射线， $I$ 代表穿透物体射线的强度那么
$I=I_0exp\{-\int_{L}^{}k(s)ds\}$
2、发射断层成像
在发射断层成像（ETC）系统中，发射源在发射物体的内部。一般是将具有放射性的离子注入物体内部，从物体外检测其放射出来的量。通过这种方法可以了解离子在物体内的运动情况和分布。
3、反射对策成像
反射断层成像（RCT）也是利用投影重建的原理工作的。常见的一个例子是雷达系统，其中的雷达图是物体反射的回波所产生的。
4、磁共振成像
磁共振成像（MRI）在早期称为核磁共振（NMR）。工作原理：氢核以及其他具有基数个质子或中子的核，包含具有一定磁动量或旋量的质子。如果把他们放在磁场中，他们就会像陀螺在重力场中一样的磁场中进动。一般情况下质子在磁场中是随意排列的，当一个适当强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向与磁场相交的朝向。如果此时将共振场信号去除，质子吸收的能量将释放并可被接收器检测到。根据检查到的信号就可以确定质子的密度。通过控制所用的共振场信号和磁场强度，可每次检测到沿通过目标中一条线的信号。换句话说，检查到的信号是MRI信号沿直线的积分。
5、电阻抗断层成像
电阻抗断层成像（EIT）采用交流电场对物体进行激励检查。这种方法对电导和电抗的改变比较敏感。通过使用低频率的电流注入物体内部并测量在物体外表处的电势场，在采用图像重建算法就可以重建出物体内部区域的电导和电抗的分布或变化的图像。

2、傅里叶反变换重建

2.1、基本步骤和定义

傅里叶反变换重建法是一种变换重建法。有以下三个步骤
1、建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数
2、利用反变换公式解未知量
3、调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求。

2.2、傅里叶变换投影定理

变换方法的基础是傅里叶变换投影定理。设 $G(R,θ)$ 是 $g(s,θ)$ 对应定一个变量 $s$ 的一维傅里叶变换
$G(R,θ)=\int_{(s,θ)}^{}g(s,θ)exp[-j2\pi Rs]ds \qquad \qquad ( \qquad \qquad (2.2.1))$
$F(X,Y)$ 是 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变换
$F(X,Y)=\iint\limits_{Q}^{}f(x,y)exp[-j2\pi (xX+yY)]dxdy \qquad \qquad (2.2.2)$
那么可以证明如下投影定理：
$G(R,θ)=F(Rcosθ, Rsinθ) \qquad \qquad (2.2.3)$
即 $f(x,y)$ 以θ角进行投影的傅里叶变换等于 $f(x,y)$ 的傅里叶变换在傅里叶空间(R,θ)处的值，换句话说， $f(x,y)$ 在 $X$ 轴成θ角的直线上投影的傅里叶变换是 $f(x,y)$ 的傅里叶变换在朝向角θ上的一个截面。

2.3、傅里叶反变换重建公式

傅里叶反变换重建主要有三个步骤：
1、对以角 $θ_n(n=1,2,\dots ,N )$ 的投影进行一维傅里叶变换。
2、在傅里叶空间从极坐标向直角坐标插值。
3、进行二维傅里叶反变换以得到重建图像

3、逆投影重建

逆投影的原理是将从各个方向得到的投影返回到该方向的各个位置，如果对多个投影方向中的每个方向都进行这样的逆投影，就有可能建立平面上的一个分布。逆投影重建中最典型的是卷积投影重建。

3.1、卷积逆投影重建

3.1.1、连续公式推导
卷积逆投影重建法也是一种变化重建方法，可以由傅里叶变换推导出
在上式 (2.2.1)极坐标中的反变换
$f(x,y)=\int_{0}^{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(R,θ)exp[-j2\pi R(xcosθ+ysinθ)]|R|dRdθ$
最终得到
$f_W(x,y)=\int_{0}^{\pi}\int_{-1}^{1}g(s,θ)h(xcosθ+ysinθ-s)dsdθ$
也可以将上式分解成以下两个顺序的操作来完成：
$g^{\prime}(s,θ)=\int_{-1}^{1}g(s,θ)h(s'-s)ds$
$f_W(x,y)=\int_{0}^{\pi}g'(xcosθ+ysinθ, θ)dθ$
3.1.2、离散计算
3.1.3、扇束投影重建
在实际应用中常需要尽量缩短投影的时间。一种有效的方法是使用一个发射器和一组接受器，这样就可以同时获得多条投影线。

3.2、其他投影重建

3.2.1、逆投影滤波
3.2.1、滤波反投影
1、原理：
滤波反投影重建算法常用在CT成像重建中，背后的数学原理是傅立叶变换：对投影的一维傅立叶变换等效于对原图像进行二维的傅立叶变换。（傅立叶中心切片定理）
CT重建算法大致分为解析重建算法和迭代重建算法，随着CT技术的发展，重建算法也变得多种多样，各有各的有特点。滤波反投影算法（FBP）算法是在傅立叶变换理论基础之上的一种空域处理技术。它的特点是在反投影前将每一个采集投影角度下的投影进行卷积处理，从而改善点扩散函数引起的形状伪影，重建的图像质量较好。

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