【游戏数值】 连续补偿的抽卡概率模型

1.简介

基于之前推导过的基础抽卡概率分布以及PRD算法下的伪随机分布，对于同样服从二项分布的抽卡事件，可以进一步拓展有保底情形下的抽卡概率分布

2.基础抽卡概率分布

假设第N次为保底，抽中概率为1，有保底无限制的抽卡概率分布为
P(X = n) = \begin{cases} p \cdot (1 - p)^{n-1} \quad if \quad n < N \\ (1 - p)^{N-1} \quad if \quad n \geq N \end{cases}
期望抽出次数为
E(X) = \sum_{n}^{N-1}n \cdot p \cdot (1 - p)^{n-1} + N*(1-p)^{N-1}

3.连续补偿的抽卡概率分布

假设第N次为保底，从第M次开始，概率逐渐递增到1，事件\{单次抽卡出货\}的概率为
P = \begin{cases} p \quad if \quad n < M \\ T(n) \quad if \quad n \geq M \end{cases}
其中，T(n)为单调递增函数，且T(N)=1

抽卡事件\{抽卡n次最后1次出货\}的概率分布为

P(X = n) = \begin{cases} p \cdot (1 - p)^{n-1} \quad if \quad n < M \\ T(n) \cdot \Pi_{n=M}^{n}(1 - T(n)) \quad if \quad n \geq M \end{cases}

则期望抽出次数为

E(X) = \sum_{n=1}^{M-1}n \cdot p \cdot (1 - p)^{n-1}+ \sum_{n=M}^{N} n \cdot T(n) \cdot \Pi_{n=M}^{n-1}(1 - T(n))

举个例子，令T(n)=(1-p) \cdot \frac{n-M}{N-M}+p，代入上式有

E(X) = \sum_{n=1}^{M-1}n \cdot p \cdot (1 - p)^{n-1}+ \sum_{n=M}^{N} n \cdot ((1-p) \cdot \frac{n-M}{N-M}+p) \cdot \Pi_{n=M}^{N} (1 - (1-p) \cdot \frac{n-M}{N-M}-p)

4.代码

代码见github：https://github.com/Jweeeeee/Dota2_PDR
快速预览：https://nbviewer.org/github/Jweeeeee/Dota2_PRD/blob/main/GensinPRD.ipynb

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