特征值与矩阵行列式和迹的关系

定理:矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和。【在计重数意义下】

核心结论：对 阶方阵 ，在复数域中把它所有的特征值按代数重数记为

则一定有

其中 是矩阵的迹，即主对角线元素之和。

方法一：用特征多项式证明

矩阵 的特征多项式定义为

它的根就是 的特征值。因此，如果特征值按重数记为 ，那么

展开右边：

另一方面，直接看

它的主对角线乘积是

这个乘积中， 的系数是

而其他非对角线项在行列式展开中最多只能提供 或更低次项，所以 的系数完全由迹决定。

因此：

比较 的系数：

所以

再看常数项。令 ：

而从

得到常数项为

所以

因此

这就是用特征多项式系数比较得到的证明。

方法二：用相似上三角化直观理解

在复数域上，任意 阶矩阵 都相似于一个上三角矩阵 ：

上三角矩阵 的对角线元素就是 的特征值，因此

相似变换不改变行列式，也不改变迹：

而上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积，迹等于对角线元素之和：

所以：

3. 注意点

• 特征值必须按代数重数计算。例如某个特征值出现两次，就要算两次。
• 实矩阵也可能有复数特征值，但在复数域中公式依然成立，而且最终行列式和迹都是实数。
• 如果矩阵可以对角化，即

那么直接有

举例说明

设

特征多项式为

所以两个特征值 满足：

这正是韦达定理的体现。